Ecuaciones de campo de una acción dada [duplicado]

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Ecuaciones de campo de una acción dada [duplicado]

dnninja

Proporcionó una acción:

S [A_{v}] = \int (\frac{1}{4 m_{0}} (A_{γ, m} - A_{m, γ}) (A_{ζ, α} - A_{α, ζ}) η^{γ ζ} η^{m α} + \frac{1}{2} v^{2} A_{m} A_{γ} - β A_{m} j^{m}) \sqrt{- η} d t d^{3} X,

$S[A_\nu] = \int\left(\frac{1}{4\mu_0}(A_{\gamma,\mu}-A_{\mu,\gamma})(A_{\zeta,\alpha}-A_{\alpha,\zeta})\eta^{\gamma\zeta}\eta^{\mu\alpha}+\frac{1}{2}\nu^2A_\mu A_\gamma -\beta A_\mu J^\mu\right)\sqrt{-\eta}~dtd^3x,$

¿Cómo se haría para encontrar las ecuaciones de campo para el mismo? Entiendo que usar el método de Euler-Lagrange es cómo uno debe comenzar.

¿Nos dice qué tipo de campo estamos mirando, de un vistazo?

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/3005/2451 , physics.stackexchange.com/q/34241/2451 , physics.stackexchange.com/q/51169/2451 , physics.stackexchange.com/q/64272/2451 y enlaces en el mismo.

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Ecuaciones de campo de una acción dada [duplicado]

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MaxSchambach · Answer 1

Como ya se mencionó, la acción corresponde a la dinámica electrónica masiva, incluidas las fuentes externas, en el espacio-tiempo de Minkowski. Esto también se conoce bajo el término acción Proca.
Como mencionas, las ecuaciones de movimiento correspondientes se pueden encontrar usando la ecuación de Euler-Lagrange, es decir

0 = \frac{\partial L}{\partial A_{m}} - \partial_{v} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} A_{m})}

$0 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} - \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu A_\mu)}$ Ambos términos se calculan de forma bastante sencilla y deberías seguir con las ecuaciones de movimiento.

0 = \partial^{v} F_{v m} - {metro}^{2} A_{m} + β j_{m}

$0=\partial^\nu F_{\nu \mu} - m^2 A_\mu + \beta j_\mu$ o

0 = \partial^{m} \partial_{[m} A_{v]} - {metro}^{2} A_{m} + β j_{m}

$0= \partial^\mu \partial_{[\mu} A_{\nu]} - m^2A_\mu + \beta j_\mu$ He puesto en el tensor de fuerza de campo

F = d A

$F = dA$ , o

F_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ por simplicidad y sustituido

m^{2}

$m^2$ para

ν^{2}

$\nu^2$ desde que pienso

ν

$\nu$ está reservado para índices de coordenadas (en ese sentido, su definición también es un poco incorrecta formalmente ya que en el lado derecho escribe

S [A_{ν}]

$S[A_\nu]$ ). Escribir el Lagrangiano con el tensor de fuerza de campo, creo, también permite una identificación más directa de la teoría subyacente.
Los campos de Proca son las generalizaciones masivas más directas de los campos vectoriales y también se pueden estudiar en un contexto de mecánica cuántica o campo cuántico. Pero tenga en cuenta que, a diferencia de la ecuación de Maxwell, la ecuación de Proca no es invariante de medida, ya que la simetría se rompe por el término de masa.

EDITAR: tenga en cuenta que en otra respuesta se afirma que las ecuaciones de movimiento son $(\square - m^2)A_\mu = \beta j_\mu$ , pero esto es a priori incorrecto. Sin embargo, si intenta resolver la ecuación de Proca, encontrará que en realidad es equivalente a la ecuación de onda mencionada MÁS una restricción, $m^2 \partial^\nu A_\nu = \beta \partial^\nu j_\nu$ . En cierto sentido, esto es análogo al caso de la electrodinámica, donde se encuentra que las ecuaciones de Maxwell se pueden resolver resolviendo una ecuación de onda (del potencial de cuatro vectores) y una restricción (la restricción de Lorenz).

Estoy un poco confundido en cuanto a por qué la respuesta de didgeridoo92 y la tuya no coinciden con respecto al signo. Por la ecuación de Euler-Lagrange, $-\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial A_{\nu,\mu}}\right)+\frac{\partial L}{\partial A_\nu} = 0$ seguida de la sustitución de $F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , ¿no obtendría uno $\partial^\mu \partial_\mu A^\nu - \partial^\nu\partial^\mu A_\mu-m^2 A_\mu=-\beta J_\mu$ , que luego nos da: $(\square-m^2)A_\nu=-\beta J_\nu$ . Disculpas por jugar con los índices, soy bastante nuevo en este tipo de notación. ¡Gracias por ayudar!
sí, eso corresponde a los signos presentes en "mis" ecuaciones de movimiento. Y dependiendo de su definición de $\square$ , prefiero escribirlo en la forma más familiar $(◻ + {metro}^{2}) A_{m} = β j_{m}$ $(\square + m^2) A_\mu = \beta j_\mu$ que entonces parece una generalización de la ecuación de Klein-Gordon. Pero de nuevo: ¡No olvides la restricción! De lo contrario, no es equivalente a la ecuación de Proca.
Entonces, ¿cómo se haría para encontrar el tensor de tensión para tal campo?
Esa es una tarea un poco complicada. En principio, tendrías que hacer una variación de la escritura lagrangiana a la métrica. Si busca en Google el tensor de energía de estrés o el tensor de momento de energía en las teorías de campo clásicas, encontrará información detallada. Por ejemplo, arxiv.org/ftp/hep-th/papers/0307/0307199.pdf o physics.umd.edu/courses/Phys624/agashe/F10/solutions/HW1.pdf para una aplicación en electromagnetismo

didgeridoo92 · Answer 2

por el método de Euler-Lagrange, simplemente obtendría la siguiente ecuación de campo:

$(\square-\nu^2)A_\alpha=-\beta J_\alpha$ ,

que es la ecuación de Proca. Puede leer sobre la acción de Proca en línea. Soy nuevo en la teoría de campos, y alguien debería corregirme si me equivoco.

magma · Answer 3

Este es solo el lagrangiano para el electromagnetismo. A es el vector potencial y las expresiones entre paréntesis son el tensor F. Puedes leer sobre esto aquí

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