¿Cómo calcular la acción clásica en el caparazón para un oscilador armónico? [cerrado]

Lo escribí al azar en notas personales. Probablemente fue un ejercicio en alguna parte.

Considere un oscilador armónico, que está descrito por el hamiltoniano

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2q^2$$ Haciendo la transformada de Legendre, obtenemos la acción como $$\mathcal{S}=\tfrac{1}{2}m\int_0^t(\dot{q}^2-\omega^2q^2)dt'$$ Ahora usamos la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar la ecuación clásica de movimiento: $$\frac{\partial L}{\partial q}=-2\omega^2 q\quad \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}=2\dot{q}\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}=2\ddot{q}$$ $$\ddot{q}_c=-\omega^2q_c$$ Para resolver esto, supongamos primero que la solución será algo como $e^{\lambda t}$. Reemplazamos esto en nuestra ecuación diferencial $$\frac{d^2}{dt^2}e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=\lambda^2 e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=0$$ Factorizar $e^{\lambda t}$para obtener $\lambda^2+\omega^2=0$. Esto se soluciona por $$\lambda=\pm i\omega$$ La solución general es la suma de las soluciones creadas por las dos raíces: $$q=c_1e^{-i\omega t}+c_2e^{i\omega t}$$ Aplicar la identidad de Euler: $$q=c_1[\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)]+c_2[\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)]$$ Reagrupar términos y definir $A=c_1+c_2$y $B=i(c_2-c_1)$. Entonces nuestra ecuación diferencial se resuelve por $$q_c=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$$ De aquí: $$\dot{q}_c=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t)$$ $$\dot{q}_c^2=A^2\omega^2\sin^2(\omega t)-2AB\omega^2\cos(\omega t)\sin(\omega t)+B^2\omega^2\cos^2(\omega t)$$ $$\omega^2q^2_c=\omega^2[A^2\cos^2(\omega t)+2AB\cos(\omega t)\sin(\omega t)+B^2\sin^2(\omega t)]$$ Usamos $$2\sin(\theta)\cos(\theta)=\sin(2\theta)$$ $$\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)=\cos(2\theta)$$ Ahora la diferencia es $$\dot{q}_c^2-\omega^2q_c^2=-2AB\omega^2\sin(2\omega t)+(B^2-A^2)\omega^2\cos(2\omega t)$$ La antiderivada de la primera parte es $$-2AB\omega^2\int\sin(2\omega t)dt=AB\omega\cos(2\omega t)$$ Y la segunda parte es $$(B^2-A^2)\omega^2\int\cos(2\omega t)dt=\tfrac{1}{2}(B^2-A^2)\omega\sin(2\omega t)$$ Escribimos la fórmula del coseno de doble ángulo como $$\cos(2\theta)=1-2\sin^2(\theta)$$ Así que nuestra primera parte es $$AB\omega\cos(2\omega t)=AB\omega-2AB\omega\sin^2(\omega t)$$ Ahora que tenemos nuestra antiderivada, podemos calcular la acción: $$\tfrac{1}{2}m\int_0^t(\dot{q}^2-\omega^2q^2)dt'=\tfrac{1}{2}m\omega\left[(B^2-A^2)\sin(\omega t')\cos(\omega t')+AB-2AB\sin^2(\omega t')\right]_0^t$$ $$=\tfrac{1}{2}m\omega[(B^2-A^2)\sin(\omega t)\cos(\omega t)-2AB \sin^2(\omega t)]$$ Cuáles son $A$y $B$? Establecimos $q_c(0)=q_I=A$. Solucionamos $$q_c(t)=q_F=q_I\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$$ para $B$: $$B=\frac{q_F-q_I\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ Conectamos esto a la acción, primero hacemos $AB$, $$AB=q_I\frac{q_F-q_I\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ entonces $B^2-A^2$ $$B^2-A^2=\left(\frac{q_F-q_I\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)}\right)^2-q_I^2=\frac{q_F^2-2q_Fq_I\cos(\omega t)+q_I^2\cos^2(\omega t)-q_I^2\sin^2(\omega t)}{\sin^2(\omega t)}$$ Entonces $$-2AB\sin^2(\omega t)=\frac{-2q_Iq_F\sin^2(\omega t)+2q_I^2\cos(\omega t)\sin^2(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ Y $$(B^2-A^2)\cos(\omega t)\sin(\omega t)=\frac{q_F^2\cos(\omega t)-2q_Fq_I\cos^2(\omega t)+q_I^2\cos^3(\omega t)-q_I^2\sin^2(\omega t)\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ Luego usamos algo más de trigonometría y reescribimos $$q_I^2\cos^3(\omega t)=q_I^2\cos(\omega t)(1-\sin^2(\omega t))=q_I^2\cos(\omega t)-q_I^2\cos(\omega t)\sin^2(\omega t)$$ Ahora sumamos las dos partes juntas: $$(B^2-A^2)\cos(\omega t)\sin(\omega t)-2AB\sin^2(\omega t)=\frac{q_F^2\cos(\omega t)+q_I^2\cos(\omega t)-2q_Iq_F\sin^2(\omega t)-2q_Fq_I\cos^2(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ Por supuesto, esto se puede simplificar a $$\csc(\omega t)[(q_I^2+q_F^2)\cos(\omega t)-2q_Iq_F]$$ Finalmente concluimos que la acción clásica es $$\mathcal{S}[q_c]=\tfrac{1}{2}m\omega\csc(\omega t)[(q_I^2+q_F^2)\cos(\omega t)-2q_Iq_F]$$

La acción$S$se define como la integral de tiempo del lagrangiano$L$del sistema, y ​​en la mecánica clásica el Lagrangiano es simplemente energía cinética$T$energía potencial negativa$V$. Entonces la acción se puede escribir de la siguiente manera:

$$S(\mathbf{x},\mathbf{\dot x}) = \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \; [T(\mathbf{\dot x}) - V(\mathbf{x})]$$

Para un oscilador armónico con masa$m$y frecuencia$\omega$, la energía cinética en función de la velocidad$\mathbf{\dot x}$es$T(\mathbf{\dot x}) = \frac{1}{2}m\mathbf{\dot x}^2$, y la energía potencial en función de la posición$\mathbf{x}$es$V(\mathbf x) = \frac{1}{2}m\omega^2\mathbf{x}^2$, por lo que obtenemos:

$$S(\mathbf{x},\mathbf{\dot x}) = \frac{1}{2}m \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \; \big[\mathbf{\dot x}^2 - \omega^2\mathbf{x}^2\big]$$

Esta es la acción del oscilador armónico. El camino físico$\mathbf{x}(t)$que seguirá el oscilador armónico, es el camino que minimiza la acción (o en general, el camino que produce un punto estacionario en la acción); y resolver este problema de minimización (o en general, problema de extremización) es equivalente a resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangiano$L = T-V$.