Variación explícita del término límite de Gibbons-Hawking-York

Nunca he visto un artículo en el que el cálculo se realice de manera manifiestamente covariante. Sin embargo, he publicado un conjunto de notas de referencia en mi sitio web (http://jacobi.luc.edu/notes.html) que contiene las variaciones necesarias para realizar el cálculo. Permítanme resumir el cálculo aquí.

La acción de la gravedad en una región compacta.$M$con límite$\partial M$es

$$I_{EH} + I_{GHY} = \frac{1}{2 \kappa^2} \int_{M}d^{d+1}x \sqrt{-g} R + \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h} K ~.$$ La métrica en $M$es $g_{\mu\nu}$, y $R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$es el Escalar de Ricci. La métrica inducida en el límite. $\partial M$es $h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - n_{\mu} n_{\nu}$, dónde $n^{\mu}$es el vector unitario (espacial) normal a $\partial M \subset M$. Ahora considere una pequeña variación en la métrica: $g_{\mu\nu} \to g_{\mu\nu} + \delta g_{\mu\nu}$. Las cantidades que aparecen en la parte de Einstein-Hilbert de la acción cambian de la siguiente manera: $$\delta \sqrt{-g} = \frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}$$ $$\delta R = -R^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} + \nabla^{\mu}\left(\nabla^{\nu} \delta g_{\mu\nu} - g^{\nu\lambda} \nabla_{\mu} \delta g_{\nu\lambda} \right)$$ Así, el cambio en $I_{EH}$es $$\begin{aligned}\delta I_{EH} = & \frac{1}{2\kappa^{2}}\int_{M} d^{d+1}x \sqrt{-g} \left(\frac{1}{2} g^{\mu\nu} R - R^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}\\ & + \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h} \frac{1}{2} n^{\mu} \left(\nabla^{\nu} \delta g_{\mu\nu} - g^{\nu\lambda} \nabla_{\mu} \delta g_{\nu\lambda}\right)~,\end{aligned}$$ con el término límite proveniente de la integral de volumen de la derivada total en $\delta R$. Las variaciones de las cantidades en el término GHY son un poco más complicadas de resolver, pero básicamente se derivan de definiciones estándar y este resultado para la variación del vector normal: $$\delta n_{\mu} = \frac{1}{2} n_{\mu} n^{\nu} n^{\lambda} \delta g_{\nu\lambda} = \frac{1}{2} \delta g_{\mu\nu} n^{\nu} + c_{\mu}~.$$ En la segunda igualdad he introducido un vector $c_{\mu}$que es ortogonal a $n^{\mu}$; está dado por $$c_{\mu} = - \frac{1}{2} h_{\mu}{}^{\lambda} \delta g_{\nu\lambda} n^{\nu} ~.$$ La razón por la que introduje este vector es que la variación en la traza de la curvatura extrínseca se puede escribir como $$\delta K= - \frac{1}{2} K^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} - \frac{1}{2} n^{\mu}\left(\nabla^{\nu} \delta g_{\mu\nu} - g^{\nu\lambda} \nabla_{\mu} \delta g_{\nu\lambda} \right) + D_{\mu} c^{\mu}$$ dónde $D_{\mu}$es la derivada covariante a lo largo de $\partial M$que es compatible con la métrica inducida $h_{\mu\nu}$. Entonces, el cambio en la parte GHY de la acción es $$\delta I_{GHY} = \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h}\left(\frac{1}{2}h^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} K + \delta K \right)~.$$ Combinando esto con $\delta I_{EH}$vemos que los varios términos se cancelan, dejando $$\begin{aligned} \delta I = & \frac{1}{2\kappa^2}\int_{M} d^{d+1}x \sqrt{-g}\left(\frac{1}{2} g^{\mu\nu} R - R^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}\\ & + \frac{1}{\kappa^2}\int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h}\left(\frac{1}{2}(h^{\mu\nu} K - K^{\mu\nu})\delta g_{\mu\nu} + D_{\mu} c^{\mu} \right) ~.\end{aligned}$$ descartamos el termino $D_{\mu} c^{\mu}$, que es una derivada de contorno total.

Estoy haciendo mi licenciatura en algo así e incluso elegimos incluir términos de doble límite en la variación.

Además de este artículo, Principio variacional y funciones de 1 punto en el espacio plano tridimensional Gravedad de Einstein por Stephane Detournay et al., obtenemos un término más:

$$-\frac{(1-\alpha)}{16\pi G}\int_{\mathcal{\partial M}}d^3x\sqrt{-\gamma}\frac{1}{2}n^c \nabla_c(n^an^b)\delta g_{ab}$$ la variación total del término GHY (con un parámetro libre $\alpha$) y el término EH ordinario queda entonces:

$$\begin{align} \delta \Gamma_{(\alpha)}&=\frac{1}{16\pi G}\int_{\mathcal{M}}d^4x\sqrt{-g}G^{ab}\delta g_{ab} \\ &\quad + \frac{1}{16\pi G}\int_{\mathcal{{\partial}M}}d^3x\sqrt{-\gamma}\left(K^{ab}-\alpha K g^{ab}+(2\alpha-1)Kn^an^b\right)\delta g_{ab} \\&\quad+\frac{(1-\alpha)}{16\pi G}\int_{\mathcal{\partial M}}d^3x\sqrt{-\gamma}\left(\gamma^{ab}n^c\nabla_c-\frac{1}{2}n^c\nabla_c(n^an^b)\right)\delta g_{ab} \\&\quad+\frac{(2\alpha-1)}{16\pi G}\int_{\mathcal{\partial^2M}}d^2x\sqrt{-\gamma'}{n'}^an^b\delta g_{ab} \end{align}$$