¿Hay algo malo con esta acción modificada de Einstein-Hilbert de primer orden?

La acción de Einstein-Hilbert:

$$S_{EH}=\frac{1}{2\kappa}\int \sqrt{-g}g^{ab} \left({\Gamma^c}_{ab,c} - {\Gamma^c}_{ac,b} + {\Gamma^d}_{ab}{\Gamma^c}_{cd} - {\Gamma^d}_{ac}{\Gamma^c}_{bd}\right) d^4x$$

Contiene segundas derivadas de$g$ya que los símbolos de Christoffel contienen derivados de$g$pero usando integración por partes se puede convertir en una forma con solo primeras derivadas del tensor métrico:

$$S_{EH'}=\frac{1}{2\kappa}\int \left( -{\Gamma^c}_{ab}\partial_c(\sqrt{-g}g^{ab}) + {\Gamma^c}_{ac}\partial_b(\sqrt{-g}g^{ab}) + \sqrt{-g}g^{ab}\left({\Gamma^d}_{ab}{\Gamma^c}_{cd} - {\Gamma^d}_{ac}{\Gamma^c}_{bd}\right) \right)d^4x.$$

¿Es esto equivalente? A veces leo sobre 'términos superficiales' pero no estoy seguro de lo que esto significa.

Cuando lo resuelves es:

$$S_{EH'}=\frac{1}{8\kappa}\int \sqrt{-g}\left( g^{ab}g^{de}g^{cf} +2 g^{ac}g^{bf}g^{de} +3 g^{ad}g^{be}g^{cf} -6 g^{ad}g^{bf}g^{ce} \right)\partial_c g_{ab}\partial_f g_{de} dx^4$$ (Aunque podría haberme equivocado en algunas de las constantes). Me gusta este formulario porque es similar a Maxwell Action: $$S_M = \frac{1}{2}\int\sqrt{-g}(g^{ac}g^{bd}-g^{ad}g^{bc})\partial_a A_b \partial_c A_d dx^4$$