¿Por qué es tan coincidente que la variación de Palatini de la acción de Einstein-Hilbert obtendrá una ecuación en la que la conexión es la conexión de Levi-Civita?

I) En Palatini $f(R)$ gravedad , la densidad lagrangiana es$^1$

$${\cal L}(g,\Gamma)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-g} f(R) + {\cal L}_{\rm m}; \tag{1}$$

con materia densidad lagrangiana${\cal L}_{\rm m}$; con curvatura escalar

$$R~:=~ g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}(\Gamma);\tag{2}$$

con curvatura de Ricci $R_{\mu\nu}(\Gamma)$; y donde

$$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}~=~\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}\tag{3}$$

es una libre de torsión arbitraria$^2$conexión.

II) Como menciona OP, la palabra Palatini se refiere a que la métrica$g_{\mu\nu}$y la conexión$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$son variables independientes$^3$. Por lo tanto, obtenemos dos tipos de ecuaciones EL :

1. Las ecuaciones EL

   $$f^{\prime}(R)R_{\mu\nu} -\frac{1}{2}f(R)g_{\mu\nu}~\stackrel{(1)+(5)}{\approx}~\kappa T_{\mu\nu} \tag{4}$$ para la métrica$g_{\mu\nu}$son la generalización de EFE , donde $$T^{\mu\nu}~:=~\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\rm m}}{\delta g_{\mu\nu}} \tag{5}$$ es el tensor de tensión-energía-momento (SEM) de Hilbert . [En la ecuación. (4) el$\approx$símbolo significa igualdad módulo ecuaciones de movimiento. En esta respuesta, usamos$(-,+,\ldots,+)$Minkowski firma la convención en$d$dimensiones del espacio-tiempo.]

2. Si la acción de la materia$S_{\rm m}$no depende de la conexión$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$, entonces las ecuaciones EL

   $$\nabla_{\lambda}\hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~\stackrel{(1)}{\approx}~0,\qquad \hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~:=~\sqrt{-g} f^{\prime}(R) g^{\mu\nu} ~\stackrel{(8)}{=}~\sqrt{-\hat{g}} \hat{g}^{\mu\nu}, \tag{6}$$ para la conexión$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$resulta ser la condición de compatibilidad métrica $$\nabla_{\lambda}\hat{g}_{\mu\nu} ~\stackrel{(6)+(8)}{\approx}~0\tag{7}$$ para una métrica conforme equivalente $$\hat{g}_{\mu\nu}~:=~f^{\prime}(R)^{\frac{2}{d-2}} g_{\mu\nu}, \tag{8}$$ conocida como la métrica del marco de Einstein . En otras palabras, la solución clásica para$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$es la conexión de Levi-Civita para la métrica del marco de Einstein$\hat{g}_{\mu\nu}$.

III) Así que la gravedad de Einstein (GR) con una posible constante cosmológica

$$f(R)~=~R-2\Lambda,\tag{9}$$

o equivalente

$$f^{\prime}(R)~=~1,\tag{10}$$

corresponde al caso especial donde las dos métricas$g_{\mu\nu}$y$\hat{g}_{\mu\nu}$coinciden, y por lo tanto$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$se convierte en la conexión Levi-Civita para$g_{\mu\nu}$.

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$^1$Es natural reemplazar la densidad lagrangiana (1) con la densidad lagrangiana extendida

$$\tilde{\cal L}(g,\Gamma,\Phi)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-g}\{\Phi R-V(\Phi)\} + {\cal L}_{\rm m}; \tag{11}$$

con campo de dilatación escalar auxiliar$\Phi$; y donde el potencial

$$V(\Phi)~:=~\sup_r(\Phi r -f(r))\tag{12}$$

es la transformada de Legendre de la función$f$. Si integramos el campo escalar auxiliar$\Phi$, luego volvemos a la$f(R)$Densidad lagrangiana (1) de la que partimos! Las ecuaciones EL

$$\nabla_{\lambda}\hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~\stackrel{(1)}{\approx}~0,\qquad \hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~:=~\sqrt{-g} \Phi g^{\mu\nu} ~\stackrel{(14)}{=}~\sqrt{-\hat{g}} \hat{g}^{\mu\nu}, \tag{13}$$

para la conexión$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$convertirse en la condición de compatibilidad de la métrica (7) para la métrica del marco de Einstein

$$\hat{g}_{\mu\nu}~:=~\Phi^{\frac{2}{d-2}} g_{\mu\nu}. \tag{14}$$

Después de la conexión$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$se ha integrado, la densidad lagrangiana (11) se convierte en

$$\tilde{\cal L}(g,\Phi)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-\hat{g}}\{R(\hat{g})-\Phi^{\frac{d}{2-d}}V(\Phi)\} + {\cal L}_{\rm m} , \tag{15}$$

donde ec. (14) se asume implícitamente.

Sin embargo, desafortunadamente la transformación de Legendre$V$no existe para la gravedad de Einstein (9), por lo que no consideraremos la densidad lagrangiana extendida (11) más adelante en esta respuesta.

$^2$Se podría permitir una pieza de torsión no dinámica, pero no lo seguiremos aquí por simplicidad. Para obtener más información sobre la torsión , consulte, por ejemplo, también esta publicación de Phys.SE.

$^3$Normalmente, en formulaciones que no son de Palatini, integramos la conexión$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$y mantener la métrica$g_{\mu\nu}$. ¡ Eddington & Schrödinger propusieron lo contrario ! Analicemos aquí esta posibilidad. Definir para conveniencia posterior una notación de doble índice$M=\mu\mu^{\prime}$y la siguiente notación abreviada

$$\frac{f(R)}{2f^{\prime}(R)}~=:~\hat{f}(R) ~\equiv~ \hat{f}_0+\hat{f}_1R +\hat{f}_2(R).\tag{16}$$

Consideremos sólo el vacío

$$T_{\mu\nu}~=~0.\tag{17}$$

de aquí en adelante. entonces tenemos

$$g^M~\stackrel{(4)+(16)+(17)}{\approx}~\hat{f}(R)R^M,\tag{18}$$

dónde$R^M$es el tensor de Ricci inverso. De manera equivalente, tenemos

$$\left(\delta^M_N - \hat{f}_1 R^M R_N\right) g^N~\stackrel{(16)+(18)}{\approx}~\left(\hat{f}_0+f_2(R) \right)R^M.\tag{19}$$

Entonces obtenemos una ecuación de punto fijo para la métrica inversa

$$g^N~\stackrel{(19)}{\approx}~\left(\delta^N_M +\frac{\hat{f}_1}{1-d\hat{f}_1} R^N R_M\right)\left(\hat{f}_0+\hat{f}_2(R) \right)R^M$$ $$~=~ \frac{1}{1-d\hat{f}_1}\left(\hat{f}_0+\hat{f}_2\left(g^MR_M\right) \right)R^N.\tag{20}$$

Especialicémonos en la gravedad de Einstein (9). Después

$$\hat{f}_0~=~-\Lambda;\qquad\hat{f}_1~=~\frac{1}{2};\qquad\hat{f}_2(R)~=~0.\tag{21}$$

La métrica inversa se convierte en

$$g^N~\stackrel{(20)+(21)}{\approx}~\frac{2\Lambda}{d-2}R^N.\tag{22}$$

Y por lo tanto

$$R~\stackrel{(22)}{\approx}~\frac{2d}{d-2}\Lambda,\tag{23}$$

y

$$g_{\mu\nu}~\stackrel{(2)+(22)}{\approx}~\frac{d-2}{2\Lambda}R_{\mu\nu}(\Gamma).\tag{24}$$

Entonces, la densidad EH Lagrangiana se convierte en Born-Infeld -like:

$${\cal L}(\Gamma)~\stackrel{(1)+(17)+(23)+(24)}{\approx}~\frac{1}{\kappa}\left(\frac{d-2}{2\Lambda}\right)^{\frac{d}{2}-1}\sqrt{-\det(R_{\mu\nu}(\Gamma))}.\tag{25}$$

Tenga en cuenta que la acción de Eddington-Schrödinger (25) solo funciona para una constante cosmológica distinta de cero $\Lambda\neq 0$.