Primera forma fundamental en el término límite de Gibbons-Hawking-York

Obtuve la respuesta leyendo un libro de E. Poisson, lo que estaba haciendo estaba mal, tienes que empezar con la métrica inducida dada por

$$h_{ab}= g_{\mu\nu}e^{\mu}_a e^{\nu}_b$$ dónde $$e^{\mu}_a=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^a}$$ son los vectores tangentes a las curvas de la hipersuperficie. Entonces, simplemente reemplazas $g$por $h$en la relación habitual $$\delta\sqrt{\left|h\right|} = -\frac12 \sqrt{\left|h\right|} h_{ab} \delta h^{ab}.$$ Usando la invariancia de Kronecker, se encuentra

$$\delta\sqrt{\left|h\right|} = \frac12 \sqrt{\left|h\right|} h^{ab} \delta h_{ab}.$$

Luego, usando el hecho de que

$$\delta h_{ab} =\delta g_{\mu\nu}e^\mu_a e^\nu_b$$ como los vectores tangentes son invariantes, finalmente obtenemos $$\delta\sqrt{\left|h\right|} = \frac12 \sqrt{\left|h\right|} h^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}$$ donde hemos usado la definición del PROYECTOR $$h^{\mu\nu} = h^{ab}e^\mu_a e^\nu_b.$$ Y aquí es donde venía el problema, $h^{\mu\nu}$NO es la métrica inducida, sino un proyector asociado a esa métrica inducida.

Hasta donde yo sé, estas dos expresiones se usan como sinónimos.

y tus coordenadas$h_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}-\sigma n_{\mu}n_{\nu}$no son coordenadas gaussianas en general.

gaussianas son, por ejemplo, métricas flrw como$ds^2=-dt^2+h_{ij}(t)dx^idx^j$con espacio $i,j$donde no hay un término mixto de base de tiempo/espacio en la segunda parte del elemento de línea, solo un factor de escala que depende de$t$