Variables auxiliares de Grassmann en supergeometría

Estaba leyendo sobre supergeometría y cómo se usa para modelar fermiones y supersimetría en la teoría de campos clásica.

En textos como [1] o [2], los autores introdujeron variables impares auxiliares de Grassmann para obtener campos anticonmutación.

Tomemos por ejemplo un súper campo

$$\phi : \mathbb{R}^{m|1} \rightarrow \mathbb{R}^{n|0}$$ mapear un súper espacio-tiempo a algún espacio de configuración. Se puede escribir como $$\phi = x + \theta \, \psi$$ dónde$x$debe ser un campo bosónico,$\psi$uno fermiónico y$\theta$es la coordenada impar en$\mathbb{R}^{m|1}$.

En [1] se argumenta que en esta formulación$\psi$no es una cantidad anticonmutación (impar). Para arreglar esto, en realidad necesitamos tomar$\phi$como un mapa

$$\phi : \mathbb{R}^{m|1} \times \mathbb{R}^{0|L}\rightarrow \mathbb{R}^{n|0} \;.$$ denotamos con$\eta$las coordenadas impares de$\mathbb{R}^{0|L}$y sirven como variables auxiliares de Grassmann.$x$es ahora incluso en aquellos y$\psi$extraño. Por lo tanto$\psi$es ahora de hecho un campo anticonmutación.

Tengo dos preguntas con respecto a esas variables auxiliares.$\eta$:

1. ¿Tienen una interpretación “intuitiva” o geométrica o son solo formalismos que al final nos dan campos anticonmutantes?

2. ¿Cómo nos deshacemos de ellos al calcular observables? Sé que Berezin nos integramos sobre las coordenadas del súper espacio-tiempo.$\theta$al calcular la acción por ejemplo. ¿Hacemos lo mismo con el$\eta$?

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[1] Hélein, Frédéric. “ Introducción a los Supermanifolds y la Supersimetría ”, p. 15. (Él introduce el término “súper múltiple con carne” para agregar variables auxiliares)

[2] final de la sección 3 de nlab sobre Supergeometría . (Aquí el campo de Dirac sirve como ejemplo)