Campos de Grassmann según Peskin y Schroeder

Incluso olvidándose del campo por un segundo (es decir, olvidándose de la dependencia espacial y centrándose solo en un número de Grassmann), un número de Grassmann se puede escribir como una combinación lineal de otros números de Grassmann, donde los coeficientes son números complejos. Por ejemplo, P&S hace eso en la página anterior (pág. 300) cuando escribe un 'número complejo de Grassmann':$\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}(\theta_1 +i\theta_2)$. Esos números,$\theta_1$y$\theta_2$, son números de Grassmann independientes, y hemos expresado$\theta$como una combinación de ellos.

Entonces, lo que estamos diciendo con el campo es que, en algún punto del espacio$x$, hay un número de Grassmann definido, que es igual a la combinación lineal$\sum_i\psi_i\phi_i(x)$. Admitimos el hecho de que el número de Grassmann en, digamos,$x_1$es diferente de$x_2$al permitir que los coeficientes en las combinaciones lineales de esos dos números de Grassman sean diferentes ($\phi_i(x_1)$versus$\phi_i(x_2)$).

Las funciones de base ortonormal$\phi_i(x)$son las funciones de base ortonormal habituales a las que está acostumbrado (seno, coseno, armónicos esféricos, etc.).

Todo lo que dicen es que tenemos la máxima libertad para permitir el número de Grassmann en$x_1$sea ​​lo que queramos que sea independientemente de cuál sea el número en$x_2$es. Al igual que podemos crear cualquier función con valores reales que queramos al elegir correctamente los coeficientes con valores reales en, digamos, una suma de Fourier, podemos crear cualquier función con valores de Grassmann que queramos al elegir correctamente los coeficientes con valores de Grassmann ($\psi_i$) en la suma por la que preguntaste.