Paradoja de Grassmann rareza

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Paradoja de Grassmann rareza

Física
fermiones
superálgebra
Grassmann-números
teoría cuántica de campos
superespacio-formalismo

Punto cuántico

Me encuentro con un problema molesto que no puedo resolver, aunque un amigo me ha dado alguna orientación sobre cómo podría resolverse. Ojalá alguien de aquí sepa la respuesta.

Se sabe que una superfunción (en función del espacio-tiempo y las coordenadas de Grassmann) debe verse como una serie analítica en las variables de Grassmann que termina. por ejemplo , con dos coordenadas de Grassmann $\theta$ y $\theta^*$ , la expansión de la superfunción $F(x,\theta,\theta^*)$ es

F (X, θ) = F (X) + gramo (X) θ + h (X) θ^{*} + q (X) θ^{*} θ .

$F(x,\theta)=f(x)+g(x)\theta+h(x)\theta^*+q(x)\theta^*\theta.$

El producto de dos cantidades valoradas por Grassmann es un número de conmutación, por ejemplo $\theta^*\theta$ es un objeto de conmutación. Una confusión que me aclaró mi amigo es que este producto no necesita ser real o de valor complejo, sino algún elemento de un 'anillo' (no sé qué significa eso realmente, pero lo que sea). De lo contrario, de $(\theta^*\theta)(\theta^*\theta)=0$ , concluiría necesariamente $\theta^*\theta=0$ a menos que ese producto esté en ese anillo.

Pero ahora estoy súper confundido (perdón por el juego de palabras). Si los campos de Dirac $\psi$ y $\bar\psi$ apareciendo el QED Lagrangiano

L = \bar{ψ} (i γ^{m} D_{m} - metro) ψ - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v}

$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ son objetos anticonmutantes (valorados por Grassmann), cuyo producto no necesita ser de valor real/complejo, ¿entonces el lagrangiano ya no es una cantidad de valor real, sino que toma un valor que pertenece al anillo de mi amigo ? ¡¡Me niego a creer eso!!

Punto cuántico

Mi amigo siguió diciendo que estas variables de Grassmann son como formas diferenciales... ¿cómo escribo el QED Lagrangiano en ese idioma?

alex nelson

En matemáticas, un "anillo" (derivado de "anillo numérico") es realmente un sistema numérico. No se le da la división en un anillo (si lo tiene, tiene un "anillo de división", o si además la multiplicación es conmutativa, un "campo") ... entonces su pensamiento

(θ θ^{*}) = 0

$(\theta\theta^*)=0$ es inválido.

alex nelson

¡También tenga en cuenta que diferenciar e integrar variables de Grassmann es bastante diferente! ¡Son iguales! Así es como te deshaces de estos "misterios grassmannianos" en la práctica...

Punto cuántico

@AlexNelson, entonces, ¿qué significa eso sobre el QED Lagrangiano? ¿Ya no es un objeto de valor real?

usuario10001

En la teoría clásica de campos

ψ

$\psi$ 's son, por supuesto, campos de valores complejos habituales. Cuando cuantificas, estás obligado a exigir que satisfagan las relaciones de anticonmutación (porque, de lo contrario, algunas cosas salen mal en la teoría cuántica). Entonces el "anillo" es un anillo de operadores en el espacio de Hilbert. Sin embargo, si adopta un enfoque de ruta integral para la cuantización, entonces debe tratar

ψ

$\psi$ 's como variables anticonmutación para que sus resultados coincidan con los resultados del formalismo espacial de Hilbert.

Oktay Dogangün

Además, en Rings, podría haber productos de dos números distintos de cero que sean cero. Un ejemplo simple son incluso los anillos modulares,

Z_{2 n}

$\mathbb{Z}_{2n}$ : por ejemplo, enteros en mod 4,

Z_{4}

$\mathbb{Z}_4$ , forma un anillo con la suma y la multiplicación, y tienes, por ejemplo,

2 \cdot 2 = 0

$2 \cdot 2=0$ pero

2 \neq 0

$2 \neq 0$ .

Mad Max

Relacionado: physics.stackexchange.com/questions/529496/…

Respuestas (4)

Paradoja de Grassmann rareza

Mi amigo siguió diciendo que estas variables de Grassmann son como formas diferenciales... ¿cómo escribo el QED Lagrangiano en ese idioma?
En matemáticas, un "anillo" (derivado de "anillo numérico") es realmente un sistema numérico. No se le da la división en un anillo (si lo tiene, tiene un "anillo de división", o si además la multiplicación es conmutativa, un "campo") ... entonces su pensamiento $(\theta\theta^*)=0$ es inválido.
¡También tenga en cuenta que diferenciar e integrar variables de Grassmann es bastante diferente! ¡Son iguales! Así es como te deshaces de estos "misterios grassmannianos" en la práctica...
@AlexNelson, entonces, ¿qué significa eso sobre el QED Lagrangiano? ¿Ya no es un objeto de valor real?
En la teoría clásica de campos $\psi$ 's son, por supuesto, campos de valores complejos habituales. Cuando cuantificas, estás obligado a exigir que satisfagan las relaciones de anticonmutación (porque, de lo contrario, algunas cosas salen mal en la teoría cuántica). Entonces el "anillo" es un anillo de operadores en el espacio de Hilbert. Sin embargo, si adopta un enfoque de ruta integral para la cuantización, entonces debe tratar $\psi$ 's como variables anticonmutación para que sus resultados coincidan con los resultados del formalismo espacial de Hilbert.
Además, en Rings, podría haber productos de dos números distintos de cero que sean cero. Un ejemplo simple son incluso los anillos modulares, $\mathbb{Z}_{2n}$ : por ejemplo, enteros en mod 4, $\mathbb{Z}_4$ , forma un anillo con la suma y la multiplicación, y tienes, por ejemplo, $2 \cdot 2=0$ pero $2 \neq 0$ .

qmecanico · Answer 1

un supernúmero $z=z_B+z_S$ consta de un cuerpo $z_B$ (que siempre pertenece a $\mathbb{C}$ ) y un alma $z_S$ (que solo pertenece a $\mathbb{C}$ si es cero), cf. referencias 1 y 2

Un supernúmero puede llevar una paridad de Grassmann definida. En ese caso, es o

Grassmann-par/bosonic/a C -número,

$\text{Grassmann-even/bosonic/a $c$-number},$ o

Grassmann-impar/fermiónico/an a -número,

$\text{Grassmann-odd/fermionic/an $a$-number},$ cf. referencias 1 y 2

^{†}

$^{\dagger}$ Las cartas

c

$c$ y

a

$a$ representan conmutativo y anticonmutativo, respectivamente.

Se puede definir la conjugación compleja de supernúmeros y se puede imponer una condición de realidad a un supernúmero, cf. referencias 1-4. Por lo tanto, se puede hablar de supernúmeros complejos, reales e imaginarios. Tenga en cuenta que eso no significa que los supernúmeros pertenezcan al conjunto de números complejos ordinarios $\mathbb{C}$ . Por ejemplo, un verdadero supernúmero par de Grassmann aún puede contener un alma distinta de cero.

Una cantidad observable/medible solo puede consistir en números ordinarios (pertenecientes a $\mathbb{C}$ ). No tiene sentido medir una salida valorada por el alma en un experimento físico real. Un alma es una variable/indeterminada , es decir, un marcador de posición, excepto que no puede ser reemplazada por un número para darle un valor. ¡Un valor solo se puede lograr integrándolo!

En detalle, un supernúmero (que aparece en una teoría física) eventualmente (Berezin) se integra sobre las variables impares de Grassmann (fermiónicas), digamos $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\ldots$ , $\theta_N$ , y el coeficiente del monomio superior fermiónico $\theta_1\theta_2\cdots\theta_N$ se extrae para producir un número ordinario (en $\mathbb{C}$ ), que en principio se puede medir.

Por ejemplo, las variables impares de Grassmann (fermiónicas) $\psi(x,t)$ en el QED Lagrangian eventualmente debería integrarse en la integral de trayectoria.

Referencias:

planetmath.org/supernumber .
Bryce DeWitt, Supermanifolds, Universidad de Cambridge. Prensa, 1992.
Pierre Deligne y John W. Morgan, Notes on Supersymmetry (siguiendo a Joseph Bernstein). En Quantum Fields and Strings: Un curso para matemáticos, vol. 1, Sociedad Matemática Estadounidense (1999) 41–97.
VS Varadarajan, Supersimetría para matemáticos: una introducción, Courant Lecture Notes 11, 2004.

--

$^{\dagger}$ En esta respuesta, las palabras bosónico (fermiónico) significarán Grassmann-par (Grassmann-impar), respectivamente.

¡OK! ¡Entonces el Lagrangiano es un supernúmero real ! ¿Es eso correcto?
Sí, el QED Lagrangiano es un verdadero supernúmero par de Grassmann con un alma distinta de cero.
¡Impresionante! Ahora tengo una pregunta sobre SUSY: Las supercoordenadas tienen la siguiente ley de transformación de supersimetría: $(x^\mu,\theta,\bar\theta) \rightarrow \big((x+a)^\mu-i(\theta\sigma^\mu\bar\alpha-\alpha\sigma^\mu\bar\theta),\,\theta+\alpha,\,\bar\theta+\bar\alpha\big)$ . ¿Significa esto que la parte del espacio-tiempo se transforma en un supernúmero (con un alma distinta de cero )? ¡¡¡parece extraño!!!
Tengo una pregunta de seguimiento que puede encontrar aquí: physics.stackexchange.com/q/40957

Motl de Luboš · Answer 2

Motl de Luboš

Se puede demostrar que el lagrangiano es real, pero los factores individuales en sus términos, como $\psi$ , no son ni reales ni complejos. Están en contra del trabajo. No hay elementos "particulares" de este conjunto de números anticonmutantes que uno pueda "enumerar" (excepto el cero) y no pueden aparecer como predicciones finales para cantidades observables, pero aún tiene mucho sentido hacer álgebra con ellos. Un producto de un número par de variables anticonmutación es la conmutación, lo que significa que puede tomar valores particulares que pueden medirse y compararse con predicciones teóricas.

Creo que no soy el único que realmente no entiende lo que estás preguntando, pero existe la posibilidad de que la respuesta esté en el párrafo anterior o en el texto a continuación:

http://motls.blogspot.com/2011/11/celebrating-grassmann-numbers.html?m=1

ajmeteli

¿Podría dar una referencia a la prueba de que el Lagrangiano es real? Gracias.

Motl de Luboš

Esto está en cada introducción a QFT que se preocupa por tales trivialidades. No necesitas una referencia porque encaja aquí. Tomando

ψ

$\psi$ como operadores impares de Grassmann, se sabe que el hermiteno conjugado a

\bar{ψ} ψ

$\bar\psi \psi$ es lo mismo al revés, por lo que el término de masa es hermitiano. Lo mismo con el término de interacción cúbica que tiene un coeficiente real. El término cinético necesita un

i

$i$ ser real porque la conjugación hermítica intercambia

ψ

$\psi$ con

\partial_{μ} ψ

$\partial_\mu\psi$ y para devolverlos, uno paga un signo menos por las estadísticas de Fermi, lo que implica

- 1

$-1$ de

i^{†} = - i

$i^\dagger=-i$ .

Punto cuántico

Creo que el truco está en la siguiente pregunta: Si

θ

$\theta$ y

ϕ

$\phi$ son dos variables de Grassmann, su producto

θ ϕ

$\theta\phi$ necesariamente corresponde a un número complejo? Si no, ¿a qué se asigna?

Motl de Luboš

Permítanme decir que en realidad estaba demostrando que el objeto, cuando se sustituyen los operadores, es hermitiano, lo que implica que sus valores propios son reales. Este trabajo con los "operadores completos" - con una teoría cuantizada en el enfoque del operador - es una forma conveniente y confiable de decidir cómo conjugar complejos números de Grassmann, etc.: un hermitiano conjuga los operadores usando

(A B)^{†} = B^{†} A^{†}

$(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger$ y también utiliza los mismos resultados para los números de Grassmann.

Motl de Luboš

Estimado QuantumDot, sí,

θ

$\theta$ veces

ϕ

$\phi$ es un número complejo, por lo que el producto tiene un valor que puede "nombrar", pero

θ

$\theta$ y

ϕ

$\phi$ por separado no tiene valores que pueda "nombrar". Aquí asumo que estás hablando de las variables impares de Grassmann más elementales. Quizás también se podría hablar de las variables de Grassmann basadas en cuaterniones, cuyo producto sería un cuaternión general, o - en QFT - operadores impares de Grassmann, es decir, operadores fermiónicos, cuyo producto es un operador ordinario bosónico de Grassmann-incluso.

Punto cuántico

Gracias Lubos, pero si

θ ϕ \in C

$\theta\phi\in\mathbb{C}$ y

(θ ϕ)^{2} = 0

$(\theta\phi)^2=0$ (por el álgebra de Grassmann), entonces eso parecería sugerir

θ ϕ

$\theta\phi$ necesariamente debe ser cero. .. algo salió mal en mi razonamiento...? ( editar: sí, estoy hablando de las variables impares elementales de Grassmann)

ajmeteli

@Luboš Motl: Lo que prueba es que el lagrangiano es hermitiano, pero eso no significa que sea real. Por ejemplo,

θ + θ^{*}

$\theta+\theta^*$ es hermitiano, pero eso no significa que sea real. Bien, puede haber cierta ambigüedad sobre la palabra "real", pero seguramente estarás de acuerdo en que

θ + θ^{*}

$\theta+\theta^*$ no tiene valor real. Lo mismo es cierto para el Lagrangiano, por lo que puedo juzgar, y eso es lo que molesta a QuantumDot.

Motl de Luboš

Estimado punto cuántico,

θ + θ^{*}

$\theta+\theta^*$ en realidad también se llama un número de Grassmann real.

θ ϕ

$\theta\phi$ puede tener un valor complejo como resultado, formalmente, pero aún está tratando de dar valores a valores particulares de

θ

$\theta$ y

ϕ

$\phi$ . La derivación que

(θ ϕ)^{2} = 0

$(\theta\phi)^2=0$ es legítimo pero la derivación que

θ ϕ = 0

$\theta\phi=0$ no es legítimo.

ajmeteli

@Luboš Motl: Como dije, puede haber cierta ambigüedad sobre la palabra "real", pero no hay ambigüedad sobre la palabra "valor real". así que mientras

θ + θ^{*}

$\theta+\theta^*$ puede ser "un número de Grassmann real", no tiene "valores reales", en otras palabras, no es un número c (real). Y supongo que de eso se trata la pregunta de QuantumDot: el lagrangiano no es una función con valor de número c.

Motl de Luboš

Lo sentimos, pero el lagrangiano, y especialmente la acción obtenida al integrarlo, es al menos formalmente un número c real que conmuta. Por eso aparece en el exponente de la integral de trayectoria. La integral de trayectoria en sí misma es una integral "formal" en la que los números de Grassmann se integran mediante integrales de Berezin, y estas integrales tienen tanto sentido como las integrales normales para conmutar variables. La razón por la que no podemos hablar de los valores del Lagrangiano "para valores particulares de

ψ

$\psi$ "No es que el Lagrangiano no sea formalmente real; la razón es que no hay valores particulares de

ψ

$\psi$ .

Motl de Luboš

El comentario anterior cubre la teoría cuántica con variables de Grassmann. Clásicamente, todas las variables de Grassmann deben establecerse en cero porque son proporcionales a

\sqrt{ℏ}

$\sqrt{\hbar}$ del anticonmutador canónico y

ℏ

$\hbar$ se envía a cero. Aún así, podemos discutir la cuantización en la primera aproximación clásica al igual que lo hacemos con los bosones.

ajmeteli

@Luboš Motl: si algo aparece en un exponente, esto no significa necesariamente que este "algo" sea "un número c de viaje real"; sabemos cómo definir exponentes de, por ejemplo, supernúmeros. Su advertencia "al menos formalmente" puede hacer que casi cualquier declaración sea correcta, "al menos formalmente", pero elimina cualquier contenido de cualquier declaración. Insisto en que, estrictamente hablando, el lagrangiano en cuestión no es un número c, ya que contiene un "alma" distinto de cero. Por ejemplo, en un álgebra de Grassmann con un número finito de generadores, la parte fermiónica del Lagrangiano desaparecería si se multiplicara por todos los generadores.

Motl de Luboš

No, akhmateli, escribí que tiene que ser un viaje real.

c

$c$ -número porque aparece como acción en el exponente y asegúrate de que sea verdadero. Los exponentes tienen que ser pares de Grassmann y en la integral de trayectoria, tienen que ser reales para que la teoría sea unitaria, es decir, conserve la probabilidad total. Además, es completamente falso que la palabra "formalmente" elimina el contenido. Muy por el contrario, si uno evalúa cuidadosamente la realidad y otras propiedades de manera formal, obtiene un veredicto mucho más preciso que si lo hace de manera informal.

ajmeteli

@Luboš Motl: Parece que estamos de acuerdo en que el Lagrangiano tiene un valor par de Grassmann y un real de Grassmann, pero no tiene un valor de número real.

usuario30750

Luboš Motl, ¿cómo se puede estar seguro de que el término de masa es real en dirac lagrangiano? Los espinores de Dirac son variables pares de Grassmann, por lo tanto [ψψbar]† = -ψψbar, obtenemos el signo opuesto del término de masa original, ¿entonces no es hermitiano? pd: para dos campos fermiónicos A y B, (AB)† = -B†A†.

ajmeteli · Answer 3

Primero resolvamos algunos problemas de terminología. Si los campos fermiónicos en su Lagrangiano son Grassmanianos, eso significa que el Lagrangiano es clásico, es decir, la segunda cuantización aún no se ha realizado. Puede escribir un Lagrangiano clásico usando campos fermiónicos de número c, pero, según tengo entendido, ahora se reconoce generalmente que uno debe usar el Lagrangiano clásico con campos fermiónicos Grassmanianos.

También me encontré con el problema que describes hace algún tiempo. Puedo estar equivocado, pero mi conclusión fue que, de hecho, el Lagrangiano no es real, por las razones que da en su pregunta. Por otro lado, no es obvio por qué esto es necesariamente malo.

EDITAR: Tal vez, para evitar la ambigüedad, debería haber escrito que el Lagrangiano no tiene un valor real

Su conclusión está en línea con la conclusión de mi amigo. Me siento muy desconcertado por esto. Si calculo el tensor tensión-energía siguiendo el teorema de Noether, ¿no significa esto que la energía tampoco tiene un valor real? ¿¿¿Que esta pasando???
Sí, puedo estar equivocado, pero parece que la energía tampoco tiene un valor real. Pero, de nuevo, ¿por qué es esto necesariamente malo? No estamos acostumbrados, pero hay muchas cosas en física a las que no estamos acostumbrados. Recuerde, el Lagrangiano clásico (y la energía clásica) son solo algunas estructuras provisionales en QED.
No te asustes: la energía no tiene un valor real, pero el valor esperado en cualquier estado tiene un valor real. Debe recordar que estas cosas del hombre de la hierba son límites clásicos de los campos cuánticos, y los estados se construyen utilizando los elementos del anillo, y el resultado final, cuando calcula algún valor de amplitud o expectativa, siempre es real.

zooby · Answer 4

Una cosa para agregar que a menudo es confusa. Los físicos usan el símbolo $\psi$ tanto para la función de onda de valor real de la mecánica cuántica de una sola partícula como para el campo de dirac valorado por Grassman en la acción.

Uno puede ver una conexión como esta. La función de onda $\psi$ de un giro 1/2 Campo valorado por Grassman $\Psi$ :

\frac{ψ [Ψ]}{ψ_{0} [Ψ]} = α + \int Ψ (X) ψ (X) d X + \int Ψ (X) Ψ (y) ψ (X, y) d X d y + . . .

$\frac{\psi[\Psi]}{\psi_0[\Psi]} = \alpha + \int\Psi(x)\psi(x)dx+\int\Psi(x)\Psi(y)\psi(x,y)dxdy+...$

Dónde $\psi_0[\Psi]$ es la función de onda de vacío. Después $\psi(x)$ se puede pensar en un sentido aproximado como la función de onda de una sola partícula (valor real).

Entonces vemos que solo las funciones de onda $\psi(x), \psi(x,y),...$ son importantes y realmente valorados. Los campos $\Psi$ son simplemente marcadores de posición.

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