Transformaciones de supersimetría como transformaciones de coordenadas

Habitualmente, una transformación de supersimetría se realiza sobre campos bosónicos y fermiónicos que son funciones de las coordenadas (o sobre un supercampo que es función de coordenadas reales y fermiónicas). Pero, ¿es posible interpretar las transformaciones de supersimetría como transformaciones de coordenadas en el conjunto de coordenadas? ( X 0 , … , X norte , θ 1 , … , θ METRO ) ?

El problema que veo es que las coordenadas se transformarían en algo como X m → X m + θ σ θ ¯ que ya no es un número real (o complejo), sino un número de Grassmann conmutativo. ¿Se puede dar sentido a que una posición de coordenadas ya no sea un número real?

Editar: para aclarar, esto NO se trata de confusión sobre lo que sucede cuando se suman números reales con números de grassmann conmutados en general. Que el lagrangiano en QFT, por ejemplo, no sea un número real, sino un número de grassmann conmutativo, está bien. Lo que me confunde es realmente cómo dar sentido a las coordenadas que son grassmannianas. Se supone que las coordenadas describen una posición en el espacio-tiempo/en una variedad, y me parece que es esencial que una posición sea un número real estándar.

¿Qué tipo de objeto matemático es la suma de un número real/complejo y un grassmanniano? Obviamente está cerrado bajo la suma, y ​​aparentemente bajo la multiplicación, pero probablemente no sea un campo completo, ya que no tiene inversa.
Esencialmente un duplicado de esta publicación de Phys.SE.
@Qmechanic: No, no es un duplicado de esto (pero es esencialmente lo mismo que el comentario sin respuesta en la primera respuesta). ¡He editado mi publicación para aclarar!

Respuestas (1)

Comentarios a la pregunta (v3):

  1. Recuerda que un supernúmero z = z B + z S consta de un cuerpo z B (que siempre pertenece a C ) y un alma z S (que solo pertenece a C si es cero), cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

  2. Una cantidad observable/medible solo puede consistir en números ordinarios (pertenecientes a C ). No tiene sentido medir un resultado valorado por el alma en un experimento real.

  3. Las almas son indeterminados que aparecen en fórmulas intermedias, pero se integran (o diferencian) en el resultado final.

  4. En una formulación superespacial de una teoría de campo, un espacio-tiempo de Grasmann-coordenadas X m en el superespacio se promueve a un supernúmero y no es necesariamente un número ordinario.

  5. Una traducción de supersimetría de una coordenada de espacio-tiempo uniforme de Grasmann X m sólo cambia el alma (pero no el cuerpo) de X m .

  6. Tenga en cuenta que en la definición matemática de una supervariedad , el enfoque de la teoría no está en las coordenadas del espacio-tiempo per se, sino (en términos muy generales) más bien en ciertas álgebras de funciones del espacio-tiempo. Véase también, por ejemplo, Refs. 1-3 para más detalles.

Referencias:

  1. Pierre Deligne y John W. Morgan, Notes on Supersymmetry (siguiendo a Joseph Bernstein). En Quantum Fields and Strings: Un curso para matemáticos, vol. 1, Sociedad Matemática Estadounidense (1999) 41–97.

  2. VS Varadarajan, Supersimetría para matemáticos: una introducción, Courant Lecture Notes 11, 2004.

  3. C. Sachse, Una formulación categórica de superálgebra y supergeometría, arXiv:0802.4067 .

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