¿Podría obtener el espacio real de los números de Grassmann?

Puede obtener un campo vectorial de un par de campos espinores con A m ( X ) = ψ ( X ) γ m ψ ¯ ( X ) . Utilizando este hecho, ¿podría definir un vector de espacio-tiempo en términos de números de Grasman?

Digamos que tienes 16 números de Grassmann y sus conjugados. Si definiste una coordenada:

(1) X m ≡ Θ α Γ m α β Θ ¯ β

Y luego los campos dependían de esta variable. ϕ ( X ) . ¿Podría obtener una teoría de campo consistente? todavía tendrías [ X m , X v ] = 0 pero la única diferencia que puedo ver es que ninguna función de X podría tener poderes superiores a 16.

¿Cómo afectaría esto a la física? Sería lo mismo que la física normal excepto por la extraña regla:

(2) | X | 17 = 0

O en otras palabras los coeficientes de los campos ϕ ( X ) sería cero después del término 17. ¿Sería esto desastroso? No serías capaz de tener funciones como mi − X 2 ya que terminarían después del término 17. A menos que pueda definir una coordenada y como:

(3) X m ≡ mi − | y | 2 y m

y toma el y como las coordenadas espacio-temporales.

Pero por otro lado hay álgebras más extrañas como el álgebra no conmutativa.

Pregunta interesante ... definitivamente puedes crear un mapeo de los complejos y la contracción de un GV con un espinor, θ α ψ α . Entonces, en ese sentido, sí, pero veo lo que estás diciendo...

Respuestas (1)

Además del problema con la potencia 17, el primer problema es que el alma de un supernúmero [como uno de OP's X -variables] es un indeterminado , es decir, un marcador de posición. A diferencia de un cuerpo indeterminado, no es posible asignar un número con un valor a un alma. En supermatemáticas, solo se puede lograr un valor integrando los indeterminados impares de Grassmann. No tiene sentido medir una salida valorada por el alma en un experimento físico real, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Pero cuando tienes campos como ϕ ( X ) el X norte son una especie de marcadores de posición para los coeficientes de expansión de ϕ . y una función de onda de ϕ no contiene X en absoluto: Ψ [ ϕ ] . Por lo tanto, pone en duda cuán vital es que X son números reales. Además, si este fuera el caso, ¿cómo funcionaría la geometría no conmutativa?
Actualicé la respuesta.
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