Pregunta integral básica de Grassmann/Berezin

Dejar$\theta$denote una variable impar de Grassmann .

1. Si una integral

   $$I~:=~\int\! d\theta\tag{1}$$ en el álgebra${\cal A}$de superfunciones$f(\theta)=\theta a + b$debiera ser

   • una operación lineal (graduada),

   • traducción invariante

     $$\int\! d\theta ~f(\theta+\theta_0) ~=~\int\! d\theta~f(\theta),$$

   • y la salida$\int\! d\theta~ f(\theta)$no debe depender de la variable de integración$\theta$(aparte de$a$y$b$),

   entonces es fácil verificar que las fórmulas habituales para la integral de Berezin son la única posibilidad hasta un factor de normalización multiplicativo general.

   Curiosamente, esto significa que la integración de Berezin$\int\! d\theta$es lo mismo que la diferenciación$\partial / \partial\theta$!

2. Si una integral definida

   $$I(\theta_1,\theta_2)~\stackrel{?}{:=}~\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta\tag{2}$$ en el álgebra${\cal A}$de superfunciones$f(\theta)=\theta a + b$debiera ser

   • una operación lineal (graduada),

   • traducción invariante

     $$\int_{\theta_1+\theta_0}^{\theta_2+\theta_0}\! d\theta ~f(\theta+\theta_0) ~=~ \int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta~f(\theta),$$

   • La salida$\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta~ f(\theta)$sólo debe depender de los límites$\theta_1$y$\theta_2$(aparte de$a$y$b$),

   • y desaparece para contornos cerrados

     $$\begin{align}\int_{\theta_1}^{\theta_1}\! d\theta~f(\theta)~=~&0, \tag{i}\cr \left( \int_{\theta_1}^{\theta_2}+\int_{\theta_2}^{\theta_1}\right) d\theta~f(\theta)~=~&0,\tag{ii}\cr \left( \int_{\theta_1}^{\theta_2}+\int_{\theta_2}^{\theta_3}+\int_{\theta_3}^{\theta_1}\right) d\theta~f(\theta)~=~&0,\tag{iii} \end{align}$$

   entonces es fácil comprobar que la integral definida

   $$\begin{align}I(\theta_1,\theta_2)~\stackrel{?}{:=}~&\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta\tag{2}\cr ~~~\propto~&~~ (\theta_2-\theta_1)\int\! d\theta\tag{2'}\end{align}$$ es proporcional a$(\theta_2-\theta_1)$veces la integración habitual de Berezin$\int\! d\theta$.

   Prueba esbozada de la ec. (2'):

   $$\begin{align}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta~ f(\theta)~=~&P(\theta_1,\theta_2)\cr ~=~&A\theta_1\theta_2+B_1\theta_1+B_2\theta_2+C\end{align}$$ debe ser un polinomio de segundo orden en$\theta_1$y$\theta_2$(donde los coeficientes$A,B_1,B_2,C$depender linealmente de$a,b$). La condición (i) implica$B_1+B_2=0$y$C=0$, mientras que (iii) implica$A=0$. La invariancia de traslación muestra que la integral no puede depender de$b$.$\Box$

   Esta integral definida (2') es manifiestamente valiosa para el alma y, por lo tanto, no es muy útil. También viola la expectativa ingenua de que la integración definida (2) debe invertir la paridad de Grassmann. Además, la regla de integración por sustitución$\theta^{\prime}=t\theta$no es estándar:

   $$\int_{\theta^{\prime}_1=t\theta_1}^{\theta^{\prime}_2=t\theta_2}\! d\theta^{\prime}~f(\theta^{\prime})~~=~~\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta~f(t\theta),$$ es decir, no hay factor jacobiano! Por esta y otras razones, la integral definida (2) suele considerarse mal definida.

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