Valores propios del hamiltoniano para un sistema con tres grados de libertad de espín que interactúan con espín-1/2

Tengo tres partículas de espín-1/2 que interactúan y quiero encontrar los valores propios de energía de H. El hamiltoniano para el sistema es H = j ℏ 2 ( S 1 ⋅ S 2 + S 2 ⋅ S 3 + S 3 ⋅ S 1 ) (donde J es positivo y tiene unidades de energía) y S t o t = S 1 + S 2 + S 3 y S t o t 2 = S t o t ⋅ S t o t . He expresado el hamiltoniano con S t o t 2 como

H = j 2 ℏ 2 ( S t o t 2 − S 1 2 − S 2 2 − S 3 2 ) Lo que me cuesta es usar este nuevo hamiltoniano, por ejemplo. H | ↑↓↓ ⟩ y todas las demás combinaciones de giros. Logré hacerlo con la primera expresión para el hamiltoniano, pero no con la nueva.

Y S 1 = S ⊗ I ⊗ I , S 2 = I ⊗ S ⊗ I , S 3 = I ⊗ I ⊗ S

Respuestas (1)

Los valores propios de energía están dados por el número cuántico de espín como S 2 ∣ ψ ⟩ = s ( s + 1 ) ℏ 2 ∣ ψ ⟩ . Para un sistema de tres giros tenemos s t o t = 3 2 o s t o t = 1 2 , mientras s = ± 1 2 . Para un sistema general de tres espines, los valores propios de energía de H debe ser, por s t o t = 3 2 , s = 1 2 ;

j 2 ℏ 2 ( S t o t 2 − ( S 1 2 + S 2 2 + S 3 2 ) ) ∣ ψ ⟩ = j 2 ℏ 2 ( 3 2 ( 3 2 + 1 ) ℏ 2 − 3 1 2 ( 1 2 + 1 ) ℏ 2 ) ∣ ψ ⟩ = j 3 4 ∣ ψ ⟩ .

El resto debería ser relativamente sencillo. Por cierto, tuviste un pequeño error en la segunda expresión hamiltoniana.

Así que cuando s = 1 / 2 , los valores propios de la energía serían negativos, por lo tanto, ¿podemos ignorar esos estados?
s t o t = 1 / 2 Quiero decir
De nada. Que un valor propio de energía sea negativo no significa que sea incorrecto y que pueda descartarse. Creo que este hamiltoniano es un hamiltoniano de interacción y, por lo tanto, solo una parte del hamiltoniano completo. La energía negativa está bien siempre y cuando haya más en el problema.
Pero s t o t puede ser negativo tambien? − 3 / 2 y − 1 / 2 ?
Porque cuando s t o t = + / − 1 / 2 , ¿habrá un cambio en el estado, entonces no habrá un estado propio?
s t o t nunca puede ser negativo porque sus componentes, el número de momento angular de espín s i nunca es negativo. Puede que lo estés confundiendo con el número cuántico de espín de proyección ( − s ≤ metro s ≤ s ).
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