Método de perturbación y valores propios

Tengo un problema pero no entiendo la pregunta. Dice:

"Demuestre que, a primer orden en energía, los valores propios no cambian". ¿Qué significa? Significa que si el hamiltoniano tiene la forma

H = H ( 0 ) + λ H ( 1 )

Dónde H ( 0 ) es el hamiltoniano del sistema no perturbado, H ( 1 ) es la perturbación y λ es un parámetro pequeño, entonces si

mi norte = mi norte ( 0 ) + λ mi norte ( 1 )

Dónde

mi norte ( 1 ) = ⟨ ψ metro ( 0 ) | H ( 1 ) | ψ metro ( 0 ) ⟩

tengo que mostrar eso

mi norte ( 1 ) = 0
?

Estoy confundido. Gracias por tus respuestas.

Eso no puede ser correcto. Si H ( 1 ) = 1 es escalar, es decir H = H ( 0 ) + ϵ 1 , los vectores propios no cambian y los valores propios se desplazan en λ = ϵ : mi norte = mi norte ( 0 ) + ϵ , entonces mi norte ( 1 ) = ϵ .
Creo que entiendo tu comentario pero creo que esa no es mi pregunta, o no la entiendo. Con su suposición, concluye que los valores propios se desplazan, pero no cambian.
Exactamente. El contraejemplo muestra que su comprensión de la pregunta es incorrecta. Cualquier resultado específico que se proponga probar debe ser válido en el caso específico que mencioné para que tenga la posibilidad de ser válido en general.
Oh si, pero H ( 1 ) no es constante, de hecho H ( 1 ) = − F X Y H ( 0 ) es el hamiltoniano del oscilador armónico.

Respuestas (1)

Como mencioné en los comentarios, la afirmación de que mi norte ( 1 ) ≡ 0 no puede sostenerse en general ya que una perturbación escalar no la obedece.

Sin embargo, para el caso particular que menciona, una perturbación lineal en un oscilador armónico, se mantiene. La forma más sencilla de ver esto es que la perturbación se puede incluir en el potencial del oscilador para dar otro oscilador armónico desplazado:

1 2 metro ω 2 X 2 − F X = 1 2 metro ω 2 ( X − F metro ω 2 ) 2 − F 2 2 metro ω 2 .
Esto se desplaza en posición, lo cual es irrelevante para estos propósitos (¡aunque definitivamente afecta las funciones propias!), y se desplaza en energía por − F 2 2 metro ω 2 ∝ F 2 . Por lo tanto, no habrá ningún cambio de energía de primer orden.

Sin embargo, en lo que respecta a su pregunta, necesita un argumento teórico de la perturbación que demuestre esto, y depende de usted construirlo. El punto esencial aquí es pensar la paridad: en el valor esperado

mi norte ( 1 ) = ⟨ ψ metro ( 0 ) | H ( 1 ) | ψ metro ( 0 ) ⟩
las funciones propias tienen paridad definida, al igual que la perturbación. ¿Qué implica esto?

Por cierto, usando paridad de funciones propias, es obvio que el integrando de mi metro ( 1 ) = ⟨ ψ metro ( 0 ) | H ( 1 ) | ψ metro ( 0 ) ⟩ es extraño (porque H ( 1 ) ∝ X ), y debido a los límites simétricos de integración, el resultado es que mi metro ( 1 ) = 0 y luego concluimos que, a primer orden tenemos mi norte = mi norte ( 0 ) , es decir, los valores propios no cambian. ¡Gracias!
Hay un argumento de paridad aún más simple. Porque H ( 0 ) es par, la dependencia de las energías perturbadas de F debe ser exactamente igual para el problema de paridad invertida. Esto es equivalente a la misma perturbación con un campo invertido, lo que significa que la dependencia de las energías perturbadas de F debe ser parejo. Entonces el término lineal debe desaparecer.
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