Problema de autovalores y autovectores de spin. ¿Es esta la forma correcta de resolverlo?

Un electrón es descrito por el hamiltoniano

$H=\frac{e}{mc}\bar{S}\cdot\bar{B}$

dónde$\bar{S} =(S_x,S_y,S_z)$es el operador de espín y$\bar{B}$el campo magnético

Para$t>0$ $\bar{B}=B_0\hat{x}$y para$t=0$el electrón está en el estado$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt3}|+\rangle+\frac{\sqrt2}{\sqrt3}|-\rangle$, con$|+\rangle$y$|-\rangle$vectores propios del operador$S_z$(con valores propios$\pm \frac{\hbar}{2}$).

Quiero determinar la evolución temporal del estado.

Desde$B$está a lo largo de x, el producto escalar me da$S_xB_0$y se que el operador$S_x$está representado por la matriz$\frac{\hbar}{2}\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$.

Por conveniencia$\frac{e\hbar B_0}{2mc}=\epsilon$.

Ahora, evitando todos los cálculos (esperando haberlos hecho bien), lo que hice fue encontrar los valores propios y los vectores propios de mi operador estableciendo la ecuación:

$H(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)=E(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)$

De donde los autovalores son$\epsilon$y$-\epsilon$, y los respectivos vectores propios (que determinan la relación entre$\alpha$y$\beta$y normalización) son:

$|\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle$

$|\psi_2\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle$

Ahora necesito expresar el estado$|\psi\rangle$como una combinación de los dos vectores propios:

$|\psi\rangle=\frac{\sqrt2+2}{2\sqrt3}|\psi_1\rangle+\frac{\sqrt2-2}{2\sqrt3}|\psi_2\rangle$

Y la evolución temporal es:

$|\psi(t)\rangle=\frac{\sqrt2+2}{2\sqrt3}|\psi_1\rangle \exp[{-i\frac{\epsilon}{\hbar}t}]+\frac{\sqrt2-2}{2\sqrt3}|\psi_2\rangle \exp[{i\frac{\epsilon}{\hbar}t}]$

Así es como resolví el problema, pero como soy bastante nuevo en la mecánica cuántica, me gustaría tener algunas opiniones.

¿Es este un procedimiento razonable? ¿Cometí algunos errores terribles o consideraciones sin sentido?