¿Cómo encontrar el (los) valor (es) propio (s) para los estados del operador de giro conjunto?

Question

¿Cómo encontrar el (los) valor (es) propio (s) para los estados del operador de giro conjunto?

RESPLANDOR

Empecé a aprender sobre los operadores de espín y a encontrar sus valores propios, tengo la siguiente pregunta a continuación, que se dividirá en dos partes ( la primera parte es necesaria para resolver la segunda parte ). Puedo resolver la primera parte que se muestra a continuación:

Los operadores de espín de una sola partícula se definen de la siguiente manera (omitiendo los factores de $\hbar$ para mayor claridad):

${\hat{s}}_{z} | ↑ ⟩ = \frac{1}{2} | ↑ ⟩, {\hat{s}}_{z} | ↓ ⟩ = - \frac{1}{2} | ↓ ⟩$ $\hat s_z |\uparrow\,\rangle=\frac12|\uparrow\,\rangle\, ,\quad \hat s_z |\downarrow\,\rangle=-\frac12|\downarrow\,\rangle$ ${\hat{s}}_{+} | ↑ ⟩ = 0, {\hat{s}}_{+} | ↓ ⟩ = | ↑ ⟩$ $\hat s_+ |\uparrow\,\rangle=0\, ,\quad \hat s_+ |\downarrow\,\rangle=|\uparrow\,\rangle$ ${\hat{s}}_{-} | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩, {\hat{s}}_{-} | ↓ ⟩ = 0$ $\hat s_- |\uparrow\,\rangle=|\downarrow\,\rangle\, ,\quad \hat s_- |\downarrow\,\rangle=0$ Usando estos operadores, y el hecho de que $\hat s^2$ Puede ser definido como ${\hat{s}}_{z}^{2} + \frac{1}{2} ({\hat{s}}_{-} {\hat{s}}_{+} + {\hat{s}}_{+} {\hat{s}}_{-})$ $\hat s_z^2+\frac12\left(\hat s_-\hat s_++\,\,\hat s_+\hat s_-\right)$ Muestra esa $\hat s^2$ tiene el valor propio $\frac34$ para ambos $|\uparrow\,\rangle$ y $|\downarrow\,\rangle$ .

Comenzando con el $|\uparrow\,\rangle$ estado me parece que

{\hat{s}}_{z}^{2} | ↑ ⟩ = {\hat{s}}_{z} {\hat{s}}_{z} | ↑ ⟩ = \frac{1}{2} {\hat{s}}_{z} | ↑ ⟩ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} | ↑ ⟩ = \frac{1}{4} | ↑ ⟩

$\hat s_z^2|\uparrow\,\rangle=\hat s_z\hat s_z |\uparrow\,\rangle=\frac12\hat s_z|\uparrow\,\rangle=\frac12\cdot\frac12|\uparrow\,\rangle=\color{blue}{\frac14|\uparrow\,\rangle}$

{\hat{s}}_{-} {\hat{s}}_{+} | ↑ ⟩ = {\hat{s}}_{-} (0) = 0

$\hat s_-\hat s_+|\uparrow\,\rangle=\hat s_-(0)=\color{blue}{0}$

{\hat{s}}_{+} {\hat{s}}_{-} | ↑ ⟩ = {\hat{s}}_{+} | ↓ ⟩ = | ↑ ⟩

$\hat s_+\hat s_-|\uparrow\,\rangle=\hat s_+|\downarrow\,\rangle=\color{blue}{|\uparrow\,\rangle}$

Ahora sustituyendo las partes azules en

\begin{aligned} {\hat{s}}^{2} | ↑ ⟩ & = {\hat{s}}_{z}^{2} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} ({\hat{s}}_{-} {\hat{s}}_{+} + {\hat{s}}_{+} {\hat{s}}_{-}) | ↑ ⟩ \\ = {\hat{s}}_{z}^{2} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{s}}_{-} {\hat{s}}_{+} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{s}}_{+} {\hat{s}}_{-} | ↑ ⟩ \\ = \frac{1}{4} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} (0) + \frac{1}{2} | ↑ ⟩ \\ = \frac{3}{4} | ↑ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\hat s^2|\uparrow\,\rangle&=\hat s_z^2|\uparrow\,\rangle+\frac12\left(\hat s_-\hat s_++\,\,\hat s_+\hat s_-\right)|\uparrow\,\rangle\\&=\hat s_z^2|\uparrow\,\rangle+\frac12\hat s_-\hat s_+|\uparrow\,\rangle+\frac12\hat s_+\hat s_-|\uparrow\,\rangle\\&=\frac14|\uparrow\,\rangle+\frac12(0)+\frac12|\uparrow\,\rangle\\&=\frac34|\uparrow\,\rangle\end{align}$ según sea necesario.

Para el $|\downarrow\,\rangle$ estado me parece que

{\hat{s}}_{z}^{2} | ↓ ⟩ = {\hat{s}}_{z} {\hat{s}}_{z} | ↓ ⟩ = - \frac{1}{2} {\hat{s}}_{z} | ↓ ⟩ = - \frac{1}{2} \cdot - \frac{1}{2} | ↓ ⟩ = \frac{1}{4} | ↓ ⟩

$\hat s_z^2|\downarrow\,\rangle=\hat s_z\hat s_z |\downarrow\,\rangle=-\frac12\hat s_z|\downarrow\,\rangle=-\frac12\cdot-\frac12|\downarrow\,\rangle=\color{red}{\frac14|\downarrow\,\rangle}$

{\hat{s}}_{-} {\hat{s}}_{+} | ↓ ⟩ = {\hat{s}}_{-} | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩

$\hat s_-\hat s_+|\downarrow\,\rangle=\hat s_-|\uparrow\,\rangle=\color{red}{|\downarrow\,\rangle}$

{\hat{s}}_{+} {\hat{s}}_{-} | ↓ ⟩ = {\hat{s}}_{+} (0) = 0

$\hat s_+\hat s_-|\downarrow\,\rangle=\hat s_+(0)=\color{red}{0}$

Ahora sustituyendo las partes rojas en

\begin{aligned} {\hat{s}}^{2} | ↓ ⟩ & = {\hat{s}}_{z}^{2} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{s}}_{-} {\hat{s}}_{+} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{s}}_{+} {\hat{s}}_{-} | ↓ ⟩ \\ = \frac{1}{4} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} (0) \\ = \frac{3}{4} | ↓ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\hat s^2|\downarrow\,\rangle&=\hat s_z^2|\downarrow\,\rangle+\frac12\hat s_-\hat s_+|\downarrow\,\rangle+\frac12\hat s_+\hat s_- |\downarrow\,\rangle\\&=\frac14|\downarrow\,\rangle+\frac12|\downarrow\,\rangle+\frac12(0)\\&=\frac34|\downarrow\,\rangle\end{align}$ según sea necesario.

Aquí está la segunda parte de la pregunta (que no puedo resolver):

Ahora considere los operadores para el estado conjunto de dos electrones, por ejemplo $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ , donde la primera flecha indica el estado de espín 1 y la segunda espín 2. Definimos el operador para el momento angular total de espín del sistema $\hat S=\hat s_1 +\hat s_2$ entonces vemos que $\hat S^2=\hat s_1^2+\hat s_2^2+2\hat s_1\cdot\hat s_2$ . También definimos el operador para la proyección total del giro en el $z$ -eje; $\fbox{$\hat S_z=\hat s_{z_{\large {1}}}+\hat s_{z_{\large {2}}}$}$ . Por analogía con la expresión para $\hat s^2$ podemos mostrar que
${\hat{s}}_{1} \cdot {\hat{s}}_{2} = {\hat{s}}_{z_{1}} {\hat{s}}_{z_{2}} + \frac{1}{2} ({\hat{s}}_{1_{-}} {\hat{s}}_{2_{+}} + {\hat{s}}_{1_{+}} {\hat{s}}_{2_{-}})$ $\hat s_1\cdot\hat s_2=\hat s_{z_{\large {1}}}\hat s_{z_{\large {2}}}+\frac12\left(\hat s_{1_{\large {-}}}\hat s_{2_{\large {+}}}+\hat s_{1_{\large {+}}}\hat s_{2_{\large {-}}}\right)$ Usando estas relaciones, demuestre que los dos estados $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ y $|\downarrow\downarrow\,\rangle$ Ambos tienen $S=1$ y encuentre los valores propios que tienen para $\hat S_z$

Comenzaré tratando de encontrar los valores propios para $\hat S_z$ para el estado $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ usando la fórmula encuadrada en la cita anterior:

\begin{aligned} {\hat{S}}_{z} | ↑↑ ⟩ & = ({\hat{s}}_{z_{1}} + {\hat{s}}_{z_{2}}) | ↑↑ ⟩ \\ = {\hat{s}}_{z_{1}} | ↑↑ ⟩ + {\hat{s}}_{z_{2}} | ↑↑ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\hat S_z|\uparrow\uparrow\,\rangle&=\left(\hat s_{z_{\large {1}}}+\hat s_{z_{\large {2}}}\right)|\uparrow\uparrow\,\rangle\\&=\hat s_{z_{\large {1}}}|\uparrow\uparrow\,\rangle+\hat s_{z_{\large {2}}}|\uparrow\uparrow\,\rangle\end{align}$

Ahora estoy completamente atascado ya que no tengo una relación entre el operador $\hat s_{z_{\large {1}}}$ y su valor propio (como yo estaba en la primera parte de la pregunta). En otras palabras $\hat s_{z_{\large {1}}}|\uparrow\uparrow\,\rangle=\mathrm{?}$

La respuesta simplemente dice que:

Usando las definiciones dadas,
$\begin{matrix} (A) & {\hat{S}}_{z} | ↑↑ ⟩ = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) | ↑↑ ⟩ = | ↑↑ ⟩ \end{matrix}$ $\hat S_z|\uparrow\uparrow\,\rangle=\left(\frac12 +\frac12\right)|\uparrow\uparrow\,\rangle=|\uparrow\uparrow\,\rangle\tag{A}$ dando un valor propio de $M_S=1$ para $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ .

Esta respuesta no es de ninguna ayuda ya que simplemente no tengo idea de cómo $(\mathrm{A})$ fue obtenido. Como soy nuevo en esto, probablemente haya notado que tiendo a escribir todos los pasos en el cálculo (en mi respuesta a la primera parte de la pregunta).

¿Podría alguien mostrar/explicar los pasos intermedios para alcanzar $(\mathrm{A})$ de manera similar (si es posible) a lo que hice en la primera parte?

Respuestas (1)

¿Cómo encontrar el (los) valor (es) propio (s) para los estados del operador de giro conjunto?

Noé · Answer 1

Creo que la parte que te estás perdiendo es esa $\hat{s}_{z_1}$ solo actúa sobre el primer espín y tiene las mismas propiedades que si el segundo espín no estuviera presente, es decir

{\hat{s}}_{z_{1}} | ↑ s_{2} ⟩ = \frac{1}{2} | ↑ s_{2} ⟩

$\hat{s}_{z_1} |\uparrow s_2\rangle = \frac{1}{2} |\uparrow s_2\rangle$ y

{\hat{s}}_{z_{1}} | ↓ s_{2} ⟩ = - \frac{1}{2} | ↓ s_{2} ⟩

$\hat{s}_{z_1} |\downarrow s_2\rangle = -\frac{1}{2} |\downarrow s_2\rangle$ con

s_{2}

$s_2$ siendo cualquiera

↑

$\uparrow$ o

↓

$\downarrow$ . Propiedades análogas se cumplen para

{\hat{s}}_{z_{2}}

$\hat{s}_{z_2}$ . Con esto espero que puedas solucionar el problema.

Para que quede aún más claro, esto es lo que realmente sucede detrás de la notación dada. un estado como $|s_1 s_2\rangle$ en realidad significa el producto tensorial de $s_1$ con $s_2$ .

| s_{1} s_{2} ⟩ := | s_{1} ⟩ \otimes | s_{2} ⟩

$|s_1 s_2\rangle := |s_1\rangle \otimes |s_2\rangle$ Los operadores anteriormente solo actuaban sobre uno de los espacios, como

{\hat{s}}_{z_{1}}

$\hat{s}_{z_1}$ y

{\hat{s}}_{z_{2}}

$\hat{s}_{z_2}$ se transfieren a este espacio tensorial al tensorizarlos a un operador unitario, así:

{\hat{s}}_{z_{1}} \otimes I y I \otimes {\hat{s}}_{z_{2}}

$\hat{s}_{z_1} \otimes \mathbb{I} \qquad \text{and} \qquad \mathbb{I} \otimes \hat{s}_{z_2}$ El operador de la izquierda actúa sobre el primer estado del producto tensorial, el segundo operador sobre el estado de la derecha. Entonces obtienes cosas como

({\hat{s}}_{z_{1}} \otimes I) (| s_{1} ⟩ \otimes | s_{2} ⟩) = ({\hat{s}}_{z_{1}} | s_{1} ⟩) \otimes (I | s_{2} ⟩)

$(\hat{s}_{z_1} \otimes \mathbb{I}) (|s_1\rangle \otimes |s_2\rangle)\\ = (\hat{s}_{z_1}|s_1\rangle) \otimes (\mathbb{I}|s_2\rangle)$ que es un producto tensorial de cosas que ya sabemos (de la primera parte de la pregunta). Definimos así a los operadores en el espacio tensorial, para darles precisamente esa propiedad de actuar sólo sobre uno de los estados, que se razona en lo que son las medidas. Si medimos solo el primer giro, dejamos imperturbable el segundo. Lo que se da en su ejemplo es simplemente una notación abreviada para la notación tensorial utilizada aquí.

Gracias por tu respuesta, mencionas que " $\hat{s}_{z_1}$ solo actúa sobre el primer espín y tiene las mismas propiedades que si el segundo espín no estuviera presente". ¿Cómo sabes esto ?
Si puede aceptar la primera parte de mi respuesta tal como se da, es decir, que los operadores solo actúan en sus giros correspondientes (ya que el fondo real es un poco demasiado avanzado), básicamente está ahí con el intento que ha dado en su pregunta. Solo necesitas aplicar $\hat{s}_{z_n} |\uparrow \uparrow \rangle$ de la forma mencionada.

¿Cómo encontrar el (los) valor (es) propio (s) para los estados del operador de giro conjunto?

RESPLANDOR

Respuestas (1)

Noé

RESPLANDOR

Noé

Noé

Valores propios de un sistema de dos partículas acoplado frente a desacoplado

Problema de autovalores y autovectores de spin. ¿Es esta la forma correcta de resolverlo?

Valores propios del hamiltoniano para un sistema con tres grados de libertad de espín que interactúan con espín-1/2

Momento angular de representación matricial

¿Cómo es relevante la paridad para determinar el momento angular?

Valores propios, operadores hermitianos y observables en mecánica cuántica

Hamiltoniano de oscilador armónico con término de espín

¿Cómo obtener una relación vectorial para la frecuencia Rabi?

Spin en campo magnético y valores propios

¿Existe una forma sencilla de encontrar los estados propios del operador de creación y aniquilación en QM?