Transformación unitaria del hamiltoniano con acoplamiento spin-orbital

Primero debemos ver que una transformada unitaria es muy parecida a un cambio de base en álgebra lineal:

$$\text{If: }i\hbar\dot\psi=H\psi, \text{ and } \psi=\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}\phi,$$

entonces

$$i\hbar (\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}\dot\phi+\dot {\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}}\phi)=H\phi \to i\hbar\dot\phi=(\mathcal{A_{\alpha}}H\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}-i\hbar\mathcal{A_{\alpha}}\dot{\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}} )\phi.$$

Tenemos suerte de que$\dot{\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}}=0$en este caso.

Ahora, para ver los efectos de esta transformada en este hamiltoniano, hacemos

$$x \to \mathcal{A_{\alpha}} x \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger=x\\ p \to \mathcal{A_{\alpha}} p \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger=p-m \alpha\sigma_y\\ p^2 \to \mathcal{A_{\alpha}} p^2 \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger=\mathcal{A_{\alpha}} p \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger \mathcal{A_{\alpha}} p \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger = p^2 -2m\alpha\sigma_y p+m^2\alpha^2$$

entonces

$$H_1=\frac{1}{2m}p^2+\frac{m}{2}(x^2\omega^2-\alpha^2).$$

Agregar una constante al hamiltoniano contribuye solo a la fase global, por lo que podemos descartar esto y obtener el resultado deseado

$$H_0=\frac{1}{2m}p^2+\frac{m}{2}x^2\omega^2.$$