¿Cómo puedo probar la conmutación entre el hamiltoniano y el vector de Runge-Lenz? [cerrado]

@ ACuriousMind gracias; Leeré las reglas lo antes posible.

Me equivoqué. Mira este:

Si$\hbar=1$, entonces

$$\begin{align}\hat{P}_{j}&=-i\frac{\partial}{\partial X_{j}}\\ \left[ \frac{r_i}{r},\hat{P}_j \right]f&=\frac{r_{i}}{r}\left(-i\frac{\partial}{\partial X_{j}}\right)f+i\frac{\partial}{\partial X_{j}}\left( \frac{r_{i}}{r} \right )f\\&=-i\frac{r_{i}}{r}\frac{\partial f}{\partial X_{j}}+if\frac{\partial }{\partial X_{j}}\left (\frac{r_{i}}{r} \right )+i\frac{r_{i}}{r}\frac{\partial f}{\partial X_{j}}\\&=if\frac{\partial }{\partial X_{j}}\left (\frac{r_{i}}{r} \right )\end{align}$$ $$\left [\frac{r_{i}}{r},\hat{P}_{j}\right]=i\frac{\partial }{\partial X_{j}}\left (\frac{r_{i}}{r} \right )$$

EDITAR: Me equivoqué de nuevo. El texto en rojo es mi antiguo cálculo. También me ha ayudado mi asesor y el autor.

${\color{red} {\begin{align}\frac{\partial}{\partial X_{j}}\left(\frac{r_{i}}{r}\right)&=\nabla \left(\frac{x+y+z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2}} \right)\\& =\left(\frac{y^{2}+z^{2}}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3/2}}+\frac{x^{2}+z^{2}}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3/2}}+\frac{x^{2}+y^{2}}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3/2}}\right)\\& =2\frac{r^2}{r^3}\end{align}}}$

$${\color{red}{\left [\frac{r_{i}}{r},\hat{P}_{j}\right]=2i\frac{r^2}{r^3}}}$$

EDITAR: Esta parte es correcta, pero inútil para nuestro propósito.

Es

$$2i\frac{r^2}{r^3}=2i\left(\frac{\delta _{ij}}{r} -\frac{r_{i}r_{j}\delta _{ij}}{r^{3}}\right)\,?$$ Lo comprobaremos.

$$r^{2}=\vec{r}\cdot\vec{r}=r_{i}r_{j}\hat{e}_{i}\cdot \hat{e}_{j}=r_{i}r_{j}\delta _{ij}$$

Por lo tanto si$i=j\,,$entonces

$2i\frac{r^{2}}{r^{3}}=-2i\left(\frac{1}{r} -\frac{3r_{i}r_{i}}{r^{3}}\right)=-2i\left(\frac{r^2}{r^3} -\frac{3r^{2}}{r^{3}}\right)=2i\frac{r^2}{r^3}$

si$i\ne j\,,$entonces

$$-2i\left(0- \frac{r_{i}r_{j}\delta _{ij}}{r^3} \right)=2i\frac{r^2}{r^3}$$

Por lo tanto,

$${\color{red}{\left [\frac{r_{i}}{r},\hat{P}_{j}\right]=2i\frac{r^2}{r^3}=\left(\frac{\delta _{ij}}{r} -\frac{r_{i}r_{j}\delta _{ij}}{r^{3}}\right)}}$$

Parece, pero no es el resultado esperado. :/

EDITAR: Déjame escribir la respuesta correcta:

$$\begin{align}\hat{P}_{j}&=-i\frac{\partial}{\partial X_{j}}\\ \left[ \frac{r_i}{r},\hat{P}_j \right]f&=\frac{r_{i}}{r}\left(-i\frac{\partial}{\partial X_{j}}\right)f+i\frac{\partial}{\partial X_{j}}\left( \frac{r_{i}}{r} \right )f\\&=-i\frac{r_{i}}{r}\frac{\partial f}{\partial X_{j}}+if\frac{\partial }{\partial X_{j}}\left (\frac{r_{i}}{r} \right )+i\frac{r_{i}}{r}\frac{\partial f}{\partial X_{j}}\\&=if\frac{\partial }{\partial X_{j}}\left (\frac{r_{i}}{r} \right )\end{align}$$ $$\left [\frac{r_{i}}{r},\hat{P}_{j}\right]=i\frac{\partial }{\partial X_{j}}\left (\frac{r_{i}}{r} \right )$$

${\color{blue} {\begin{align}\left[\frac{r_{i}}{r},\hat{P}_{j}\right]&=i\frac{\partial}{\partial X_{j}}\left(\frac{r_{i}}{r} \right)\\& =i\left(\frac{1}{r}\frac{\partial r_{i}}{\partial x_{j}}+r_{i}\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{1}{r}\right)\right)\\& =i\left(\frac{1}{r}\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{j}}+x_{i}\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{1}{r}\right)\right)\\& =i\left(\frac{\delta _{ij}}{r}+\frac{r_{i}r_{j}}{r^{3}}\right)\end{align}}}$