Cómo abordar el producto 'punto' para matrices de espín

La expresión que escribiste para$\sigma_z^1 + \sigma_z^2$no es del todo correcto, pero no es sorprendente que no esté seguro de cómo proceder porque la notación oscurece un poco las matemáticas reales detrás de todo esto. Lo que realmente está pasando aquí son manipulaciones con productos tensoriales de espacios de Hilbert.

El estado de espín de un solo espín$\frac{1}{2}$partícula es un elemento de un espacio de Hilbert bidimensional, llamémoslo$\mathcal H_\frac{1}{2}$. El estado de espín de un sistema que consta de dos espín.$\frac{1}{2}$partículas es$\mathcal H_\frac{1}{2}\otimes\mathcal H_\frac{1}{2}$llamado producto tensorial de$\mathcal H_\frac{1}{2}$consigo mismo

Si$|+\rangle$y$|-\rangle$son los elementos básicos usuales de giro hacia arriba y hacia abajo para$\mathcal H_\frac{1}{2}$, a saber, vectores propios de$\sigma_z$con valores propios$\pm\frac{\hbar}{2}$

$$\sigma_z|+\rangle = \frac{\hbar}{2}|+\rangle, \qquad \sigma_z|-\rangle = -\frac{\hbar}{2}|-\rangle$$ entonces una base para el producto tensorial $\mathcal H_\frac{1}{2}\otimes\mathcal H_\frac{1}{2}$consiste en todos los productos tensoriales de los elementos básicos de $\mathcal H_\frac{1}{2}$de los cuales hay $4$en este caso; $$|+\rangle\otimes|+\rangle, \qquad |+\rangle \otimes|-\rangle, \qquad |-\rangle \otimes |+\rangle, \qquad |-\rangle \otimes|-\rangle$$ En particular, tenga en cuenta que la dimensión del espacio vectorial del espín de dos partículas $\frac{1}{2}$El sistema es el doble de la dimensión del sistema de espín de una sola partícula.

Hasta aquí, hemos preparado el escenario para definir qué$\sigma^1_z$y$\sigma^2_z$son. Los superíndices simplemente significan que el operador en cuestión solo actúa sobre el primer o el segundo factor en un estado de producto tensorial dependiendo de si el superíndice es un$1$o un$2$. Por ejemplo

$$\sigma_z^1(|+\rangle\otimes|-\rangle) = (\sigma_z |+\rangle)\otimes|-\rangle = \frac{\hbar}{2}|+\rangle\otimes|-\rangle$$ tiempo $$\sigma_z^2(|+\rangle\otimes|-\rangle) = |+\rangle\otimes(\sigma_z|-\rangle) = -\frac{\hbar}{2}|+\rangle\otimes|-\rangle$$ y de hecho uno escribe $$\sigma^1_z = \sigma_z\otimes I, \qquad \sigma_z^2 = I\otimes \sigma_z$$ lo que indica que por ejemplo $\sigma_z^1$actúa como $\sigma_z$en el primer factor del producto tensorial y como la matriz identidad en el segundo factor, y viceversa para $\sigma_z^2$. Del mismo modo, si escribimos $$\vec\sigma^1\cdot\vec\sigma^2 = \sigma_x^1\sigma_x^2 + \sigma_y^1\sigma_y^2+\sigma_z^1\sigma_z^2$$ entonces cada operador con un $1$el superíndice solo actúa de manera no trivial sobre el primer factor en un estado de producto tensorial, mientras que cada operador con un superíndice $2$solo actúa de manera no trivial sobre el segundo factor en un estado de producto tensorial.

A menudo, esto es confuso para las personas que se familiarizan con QM y necesita mirarlo por un tiempo y convencerse de cómo funciona.

En primer lugar$\sigma^{x,y,z}$son las matrices de espín de Pauli y$\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2 \equiv \sigma_1^x \otimes \sigma_2^x + \sigma_1^y \otimes \sigma_2^y + \sigma_1^z \otimes \sigma_2^z$

los$\sigma_z$El operador para cada partícula puede tener la misma forma de matriz, pero recuerde que para cada partícula actúa en un espacio de Hilbert diferente .$\sigma_1^z$actúa sobre el espacio de Hilbert de la partícula 1 y$\sigma_2^z$actúa sobre el espacio de Hilbert de la partícula 2.

Cuando consideras cada uno de los tres términos en$\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2$recuérdalo$\sigma_1^i$y$\sigma_2^i$actuar sobre diferentes espacios de Hilbert. El espacio de Hilbert de cada espín$s$partícula es$2s+1$dimensional, que para un giro$1/2$partícula es$2$dimensional. Entonces el espacio combinado de Hilbert es$2 \times 2 = 4$dimensional. Este espacio total de Hilbert es lo que$\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2$actúa sobre

Así, el sistema tiene 4 estados en el espacio total de Hilbert. Debe construir el hamiltoniano como un$4 \times 4$matriz que actúa sobre este espacio total de Hilbert. Luego, puede diagonalizarlo para encontrar el espectro (valores propios) y los estados propios (vectores propios).

Tenga en cuenta que mi notación es ligeramente diferente de la suya. Los operadores en su notación (llamémoslos$\Sigma$), en términos de los operadores en mi notación ($\sigma$) estarán:$\Sigma_1 = \sigma_1 \otimes \mathbf{1}$y$\Sigma_2 = \mathbf{1} \otimes \sigma_2$. Ahora bien, dado que ambos$\Sigma_1$y$\Sigma_2$actuar sobre el mismo espacio de Hilbert$\mathcal{H}_{tot}$, podemos agregarlos. El hamiltoniano entonces estará dado por

$$H = \alpha [\Sigma_1 + \Sigma_2] + \gamma \vec{\Sigma}_1 \cdot \vec{\Sigma}_2$$

Entendiendo este sistema

Tenga en cuenta que este hamiltoniano da energía$y$si los dos espines de las partículas están alineados en paralelo y$\alpha$para lo que sea que esté alineado a lo largo de la dirección z (generalmente es un campo magnético externo en la dirección z).

Sugerencias

• Una base conveniente para el sistema total debe ser$|--\rangle$,$|-+\rangle$,$|+-\rangle$,$|++\rangle$. Anote el$4 \times 4$matriz para el operador de intercambio en esta base y encuentre los estados propios.
• Tenga en cuenta que este hamiltoniano es simétrico bajo el intercambio de las dos partículas. Entonces, si construyes el operador de intercambio en el espacio de estados, eso es una simetría del hamiltoniano... ¡lo que significa que los estados propios del operador de intercambio y el hamiltoniano serán los mismos! Entonces habrías encontrado los vectores propios. Entonces encontrar los valores propios debería ser simple.

La notación de puntos significa escribir una suma de tres términos haciendo coincidir las matrices x, y, z para las dos partículas, como si$\vec{\sigma}^1$eran un vector$(\sigma_x^1,\sigma_y^1,\sigma_z^1)$y lo mismo para la partícula #2.

$$\vec{\sigma}^1\cdot\vec{\sigma}^2 = \sigma_x^1\sigma_x^2 + \sigma_y^1\sigma_y^2 + \sigma_z^1\sigma_z^2$$

Tenga en cuenta que$\sigma_i^1$y$\sigma_i^2$actúan por separado como matrices; no se multiplican entre sí.

Tenemos

$$\sigma_z^1 = \left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right)$$ pero actuando sólo sobre el factor de la partícula #1 de la función de onda, y $$\sigma_z^2 = \left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right)$$ acción sólo sobre el factor de la partícula #2.

Por ejemplo, si tiene alguna función de onda (no necesariamente un estado propio de nada) siendo la partícula n.º 1 girando hacia arriba y la partícula n.º 2 hacia abajo,

$$\psi =\psi^1\psi^2 = {\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)}^1{\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)}^2$$ y alguna matriz arbitraria actuando sobre la partícula #1, $$U^1 = \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$$ y otra matriz arbitraria para la partícula #2, $$V^2 = \left(\begin{matrix}e&f\\g&h\end{matrix}\right)$$ después $$U^1 \psi = (U^1\psi^1 )\psi^2 = {\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)}^1{\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)}^2$$ y $$V^2 \psi = \psi^1(V^2\psi^2 ) = {\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)}^1{\left(\begin{matrix}f\\h\end{matrix}\right)}^2$$

Tenga en cuenta que agregar superíndices a los espinores de columna como ese para indicar la identidad de las partículas no es una práctica normal fuera de los libros de texto o lugares donde las cosas deben explicarse con tanto detalle. Una forma común de lidiar con esto es formar un espacio de cuatro dimensiones, el producto de los dos espacios de giro de las partículas. Los vectores base serían$\uparrow^1\uparrow^2, \uparrow^1\downarrow^2, \downarrow^1\uparrow^2, \downarrow^1\downarrow^2$o alguna buena combinación lineal.

Piénselo: necesitamos un índice para contar a lo largo de los componentes del espinor (el espacio de Hilbert bidimensional de números complejos), un índice para contar las dimensiones espaciales (x, y, z) y un índice para contar partículas. Estamos ante una entidad tridimensional, una matriz con filas, columnas y "otra". Siga con la física teórica y agregaremos carga cromodinámica, más dimensiones espaciales para lidiar con el espacio-tiempo curvo, y rociaremos una pizca de supersimetría o tecnicolor o lo que sea que esté de moda entre los niños en estos días. Y te referirás a las matrices de Pauli como "coeficientes de Clebsch-Gordan", pero al menos son el caso no trivial más simple. ¡Que te diviertas!

En realidad yo "creo" que este tema no está realmente "resuelto"...

La expresión 1/2 (σx⊗σx +σy⊗σy +σz⊗σz) es introducida por P. Dirac en su famoso libro "Los principios de la mecánica cuántica" IV ed. cap. IX pág. 221 donde usa esta expresión (en realidad no escribe explícitamente el signo del producto tensorial o de Kronecker ⊗ pero uno "entiende" que le corresponde). Utiliza esta expresión para obtener un operador de permutación para partículas de espín 1/2 (electrones). Luego lo "identifica" con la expresión (σ⃗,σ⃗), pero no da ninguna justificación física para la notación... Utiliza estas expresiones para calcular la energía de intercambio, que es un tema fundamental en Física (Magnetismo) y es ligado al principio de simetría de Pauli.

Tal vez alguien tenga otras referencias "antiguas".

Zenón Toffano

Gif-sur-Yvette

Francia