Uso de matriz de rotación para giro para escribir giro orientado a x en base a giro z

Question

Uso de matriz de rotación para giro para escribir giro orientado a x en base a giro z

a00

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$ El problema es escribir el vector ket para una partícula con espín +1/2 a lo largo del eje x, en términos de los vectores base estándar $\ket{+1/2}$ y $\ket{-1/2}$ a lo largo del eje z.

Esta página da la matriz de rotación sobre el eje y como:

(\begin{matrix} porque (θ / 2) & pecado (θ / 2) \\ - pecado (θ / 2) & porque (θ / 2) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \cos (\theta/2) & \sin(\theta/2)\\ -\sin (\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}$ Así que me imagino que si solo giro el vector

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$\left(\begin{smallmatrix} 1 \\0\end{smallmatrix} \right)$ 90 grados alrededor del eje y, eso producirá la respuesta. (Dado que un vector orientado a z girado 90 grados sobre el eje y produce un vector orientado a x).

Pero multiplicando la matriz anterior por el vector $\left(\begin{smallmatrix} 1 \\0\end{smallmatrix} \right)$ da $\left(\begin{smallmatrix} \cos(90^\circ/2) \\-\sin(90^\circ/2) \end{smallmatrix} \right)$

cual es

(\begin{matrix} porque (45^{\circ}) \\ - pecado (45^{\circ}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 / \sqrt{2} \\ - 1 / \sqrt{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \cos(45^\circ) \\ -\sin(45^\circ)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt2 \\ -1/\sqrt2\end{pmatrix}$ .

Pero el libro dice que la respuesta es $\hbar/2 \cdot \ket{-1/2}$ que creo que es lo mismo que $\hbar/2 \cdot \left(\begin{smallmatrix} 0 \\1\end{smallmatrix} \right)$ . ¿Lo que está mal?

Respuestas (2)

Uso de matriz de rotación para giro para escribir giro orientado a x en base a giro z

Kyle Arean-Raines · Answer 1

Kyle Arean-Raines

¿Estás seguro de que eso es lo que el libro te pide que encuentres?

$\hbar/2$ es el valor propio de la $S_{x}$ operador correspondiente a spin up, pero no forma parte del vector de estado. Si la pregunta realmente te pide que expreses la $\mid S_{x};+\rangle$ ket en el $S_{z}$ base, entonces estás casi en lo correcto, solo un error de signo menor:

∣ S_{X}; + ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ∣ + ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} ∣ - ⟩

$\mid S_{x};+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid-\rangle$

a00

Creo que tienes razón en que leí mal la pregunta. Aquí está su solución:

a00

\hat{S_{x}} | (+ 1 / 2) ⟩ = ℏ / 2 (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = ℏ / 2 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = ℏ / 2 | (- 1 / 2) ⟩

$\hat{S_x}|(+1/2)\rangle = \hbar/2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \hbar/2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \hbar/2|(-1/2)\rangle$

a00

asumo que tu

| + ⟩

$|+\rangle$ notación significa, para ellos,

| (+ 1 / 2) ⟩

$|(+1/2)\rangle$ . Todavía estoy tratando de entender tu respuesta. Gracias por darlo.

Kyle Arean-Raines

Sí, eso es correcto.

∣ \pm ⟩

$\mid \pm \rangle$ =

∣ (\pm 1 / 2) ⟩

$\mid (\pm1/2) \rangle$ .

{\hat{S}}_{x} ∣ (+ 1 / 2) ⟩

$\hat S_{x}\mid (+1/2) \rangle$ corresponde a medir el espín a lo largo de la

x

$x$ -eje cuando el espín de la partícula está orientado a lo largo del positivo

z

$z$ -eje. Primero expresan la

{\hat{S}}_{x}

$\hat S_{x}$ operador en el (

∣ (\pm 1 / 2) ⟩

$\mid (\pm1/2) \rangle$ ) base

{\hat{S}}_{X} = ℏ / 2 ∣ (+ 1 / 2) ⟩ ⟨ (- 1 / 2) ∣ + ℏ / 2 ∣ (- 1 / 2) ⟩ ⟨ (+ 1 / 2) = ℏ / 2 (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\hat S_{x} = \hbar/2 \mid (+1/2) \rangle \langle (-1/2) \mid + \hbar/2 \mid (-1/2) \rangle \langle (+1/2) = \hbar/2 \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ donde utilizan la representación matricial del operador. Luego aplican el operador al vector de estado

∣ (+ 1 / 2) ⟩

$\mid (+1/2) \rangle$ .

Kyle Arean-Raines

Tenga en cuenta que este equivalente a

{\hat{S}}_{X} ∣ (+ 1 / 2) ⟩ = ℏ / 2 ∣ (+ 1 / 2) ⟩ ⟨ (- 1 / 2) ∣ (+ 1 / 2) ⟩ + ℏ / 2 ∣ (- 1 / 2) ⟩ ⟨ (+ 1 / 2) ∣ (+ 1 / 2) ⟩

$\hat S_{x}\mid (+1/2) \rangle = \hbar/2 \mid (+1/2) \rangle \langle (-1/2) \mid (+1/2) \rangle + \hbar/2 \mid (-1/2) \rangle \langle (+1/2) \mid (+1/2) \rangle$ Desde el

∣ (\pm 1 / 2) ⟩

$\mid (\pm1/2) \rangle$ los vectores son ortonormales,

⟨ (- 1 / 2) ∣ (+ 1 / 2) ⟩ = 0

$\langle (-1/2) \mid (+1/2) \rangle = 0$ y

⟨ (+ 1 / 2) ∣ (+ 1 / 2) ⟩ = 1

$\langle (+1/2) \mid (+1/2) \rangle = 1$ , donación

{\hat{S}}_{X} ∣ (+ 1 / 2) ⟩ = ℏ / 2 ∣ (- 1 / 2) ⟩

$\hat S_{x}\mid (+1/2) \rangle = \hbar/2 \mid (-1/2) \rangle$ Todavía no sé cuál es la declaración del problema, pero espero que esto proporcione algo de claridad. Puede que le resulte útil leer acerca de las matrices de Pauli.

a00

El enunciado completo del problema es: Usar los vectores base de

\hat{S_{z}}

$\hat{S_z}$ vectores propios, calcular

\hat{S_{i}} | (+ 1 / 2) ⟩

$\hat{S_i} |(+1/2)\rangle$ y

\hat{S_{i}} | (- 1 / 2) ⟩

$\hat{S_i} |(-1/2)\rangle$ (i = x,y,z), donde

| (+ 1 / 2) ⟩

$|(+1/2)\rangle$ y

| (- 1 / 2) ⟩

$|(-1/2)\rangle$ son los vectores propios de

\hat{S_{z}}

$\hat{S_z}$ con valores propios

ℏ / 2

$\hbar/2$ y

- ℏ / 2

$-\hbar/2$ , respectivamente.

a00

En tu primer comentario, veo que ℏ/2 * |(+1/2)⟩⟨(−1/2)| + ℏ/2 * |(−1/2)⟩⟨(+1/2)| = ℏ/2

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ porque ℏ/2*

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ (0 1) + ℏ/2 *

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ (1 0) = ℏ/2 *

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ + ℏ/2 *

(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . Gracias.

Kyle Arean-Raines

Moviendo mis comentarios anteriores a la pregunta:

Kyle Arean-Raines

Nuevamente, la solución que proporciona su libro no es la respuesta a la pregunta que está haciendo. La solución del libro corresponde al "resultado de una medición a lo largo del eje x de una partícula que gira hacia arriba en la base z". Esto no es lo mismo que lo que estás preguntando, que es escribir la expansión de spin up a lo largo del eje x en la base z, que es el resultado que he dado. Su enfoque es completamente correcto, acaba de cometer un error de signo en el segundo coeficiente.

Kyle Arean-Raines

Si eso es correcto.

Kyle Arean-Raines

Bien, la declaración del problema parece bastante clara. No es necesario expandir los kets en diferentes bases. Puedes simplemente multiplicar el ket en el

z

$z$ base por cada una de las matrices de Pauli, que son las matrices de operadores de espín en el

z

$z$ base. Espero que eso aclare las cosas :)

a00

nuevamente con respecto a su primer comentario: ahora entiendo lo que está diciendo. Estás diciendo que podría "derivar" el

\hat{S_{x}}

$\hat{S_x}$ operador a través de esa construcción ket-bra. Y su segundo comentario realiza el mismo cálculo (para resolver el problema) de una manera diferente

a00

También entiendo ahora su tercer comentario, cómo mi pregunta difiere del problema del libro. Excelente. Gracias.

Kyle Arean-Raines

Sí correcto. Salud

Constantino negro · Answer 2

Constantino negro

Creo que podrías trabajarlo así:

$X_+ ={1 \over \sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) =a (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} ) +b(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} )$ .dónde $X_+$ es el vector propio en el axón positivo de $S_x$

Resuelve y encuentra a,b y ahí estás.

Tenga en cuenta también que puede escribir un espinor general como $(\begin{matrix} cos\theta /2 \\ sin\theta /2 \cdot e^{ι \phi} \end{matrix} )$ dónde $\theta$ es el ángulo en el plano zy a partir de z y $\phi$ es el ángulo en el plano xy a partir de x.

Espero que esto ayude.

a00

Donde hace

X_{+} = 1 / \sqrt{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

$X_+ = 1/\sqrt 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ¿De dónde vienes, por favor?

Constantino negro

Hola. Si no me equivoco ese es el vector propio del operador

S_{x}

$S_x$ en el axón x positivo. En el otro lado está el vector en el axón z. Aquí, eche un vistazo: quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node267.html Si entendí bien su pregunta, desea expresar el espinor en x sobre la base de z. Eso es lo que muestra mi respuesta, pero tienes que calcular los coeficientes a y b.

Kyle Arean-Raines

Nuevamente, la solución que proporciona su libro no es la respuesta a la pregunta que está haciendo. La solución del libro corresponde al "resultado de una medición a lo largo de la

x

$x$ -eje de una partícula que gira hacia arriba en el

z

$z$ base". Esto no es lo mismo que lo que estás preguntando, que es escribir la expansión de spin up a lo largo de la

x

$x$ -eje en el

z

$z$ base, que es el resultado que he dado. Su enfoque es completamente correcto, acaba de cometer un error de signo en el segundo coeficiente.

Kyle Arean-Raines

Otro enfoque: en general, si conoce la forma de un operador A en una base b, donde los b son vectores propios, algunos operadores B y A y B no conmutan, puede resolver el problema del valor propio

A a = λ a

$A a = \lambda a$ encontrar las a en términos de las b. En este problema conoces la representación de

S_{x}

$S_{x}$ en el

z

$z$ base - es solo la matriz de Pauli

σ_{x}

$\sigma_{x}$ . Resolver el problema de valores propios dará los vectores propios de

S_{x}

$S_{x}$ en el

z

$z$ base, y luego se trata de encontrar los coeficientes a y b como en la respuesta de Constantino. Esto se hace exigiendo que

| a |^{2} + | b |^{2} = 1

$|a|^{2} + |b|^{2} = 1$

Constantino negro

@KyleArean-Raines, Hola. Lo siento, pero ¿los comentarios son para mí (Constantine Black) o para el póster de la pregunta? Gracias.

Kyle Arean-Raines

Ah, me disculpo. Los pasaré a la pregunta.

Constantino negro

@KyleArean-Raines, No hay problema. Le pasa hasta a los mejores :) .

a00

Constantine B.: Creo que lo que estás diciendo es que los vectores z

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ y

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ constituyen una base, de modo que cuando buscamos el vector |X+>, sabemos que se puede expresar de la forma a*|Z+> + b*|Z->. ENTONCES, sabemos que el vector |X+> es un vector propio del

\hat{S_{x}}

$\hat{S_x}$ matriz, por lo que podemos escribir la ecuación de valor propio

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ * |X+> =

λ

$\lambda$ * |X+>, y luego resuelve. Le agradezco que explique este enfoque.

Constantino negro

@ user4127427 Si tiene tiempo, puede echar un vistazo al sitio que comenté anteriormente. Allí verá exactamente cómo encuentra los vectores propios de un operador de espín, como dijo. A partir de ahí haces lo que dice mi respuesta y tienes tu solución. Tenga en cuenta que hay otros ejercicios en los que tendrá que encontrar el espinor x como una superposición del espinor y, y así sucesivamente. Feliz de haber ayudado.

a00

@Constantine B.: Para terminar: esa página de UCSD funcionó para mí. (Todavía no entiendo lo que dijiste sobre el espinor, pero aún no he aprendido sobre eso). En última instancia, el punto de partida que se me ocurre es

ℏ / 2 (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) [a * | (+ 1 / 2) ⟩ + b | (- 1 / 2) ⟩] = ℏ / 2 * [a * | (+ 1 / 2) ⟩ + b * | (- 1 / 2) ⟩]

$\hbar/2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}[a*|(+1/2)\rangle + b|(-1/2)\rangle] = \hbar/2 * [a*|(+1/2)\rangle + b*|(-1/2)\rangle]$

a00

@Constantine B.: Reemplazando

| (+ 1 / 2) ⟩

$|(+1/2)\rangle$ con

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ y

| (- 1 / 2) ⟩

$|(-1/2)\rangle$ con

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ y haciendo el cálculo, terminas con dos ecuaciones, b=a y a=b. Así la solución es

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y normalizar. Gracias por ayudarme a través de este enfoque.

a00

@Kyle Arean-Raines: Creo que su comentario final señala que un uso de los operadores es como un "conversor de base", si ya tiene la matriz que es la expresión del operador en la base a la que desea llegar. (como es el caso en Pauli, la matriz x representa el espín x y el

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ expresión es para la base estándar de espín z). Si esto no es correcto, está bien; Estoy seguro de que tarde o temprano lo conseguiré.

Kyle Arean-Raines

No exactamente. Cuando aplica un operador a un ket, puede expresar el operador en la base del ket o expresar el ket en la base del operador (expandir el ket en términos de los eigenkets del operador). Siga así, estos conceptos pueden tardar un tiempo en asimilarse :)