Desacoplamiento de ecuaciones diferenciales acopladas en sistemas de dos estados acoplados dinámicamente

Question

Desacoplamiento de ecuaciones diferenciales acopladas en sistemas de dos estados acoplados dinámicamente

Rajath Radhakrishnan

Considere el siguiente hamiltoniano de dos estados acoplados dinámicamente,

H = - B σ_{z} - V (t) σ_{X} .

$H=-B\sigma_z-V(t)\sigma_x.$ Tomando las funciones propias de

σ_{z}

$\sigma_z$ (

| + >

$|+>$ y

| - >

$|- >$ ) como vectores base, tenemos la función de onda como

Φ = C_{1} | + > + C_{2} | - >

$\Phi=c_ 1|+>+ c_2|->$ y obtenemos ecuaciones diferenciales acopladas para la evolución temporal de estos dos coeficientes.

[\begin{matrix} \frac{d C_{1}}{d t} \\ \frac{d C_{2}}{d t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - B & - V (t) \\ - V (t) & B \end{matrix}] \times [\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \end{matrix}]

$\left[ \begin{array}{c} \frac{dc_1}{dt} \\ \frac{dc_2}{dt} \end{array} \right] = \begin{bmatrix} -B & -V(t) \\ -V(t) & B \end{bmatrix} \times \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right]$

Para desacoplar las ecuaciones intenté diagonalizar el hamiltoniano involucrado. Pero, entonces, los autovectores en sí implican una dependencia del tiempo debido a $V(t)$ y por lo tanto, no puedo desacoplar las ecuaciones diferenciales. Entonces, ¿hay algún otro método para hacerlo? Cualquier sugerencia es bienvenida.

Rajath Radhakrishnan

Agregaré los pasos que hice pronto. No estoy acostumbrado a los comandos matemáticos de TEX y me toma tiempo escribirlos.

marzo

Ser capaz de desacoplar las ecuaciones depende de la forma de

V (t)

$V(t)$ . Si

V (t)

$V(t)$ es un exponencial complejo simple (a menudo lo que sucede en el contexto de la aproximación de onda giratoria), entonces se puede hacer; si es un coseno o un seno, no puede (esto se llama el modelo Rabi, creo). Hay ejemplos en este sitio: ver aquí y aquí .

Respuestas (1)

Desacoplamiento de ecuaciones diferenciales acopladas en sistemas de dos estados acoplados dinámicamente

Agregaré los pasos que hice pronto. No estoy acostumbrado a los comandos matemáticos de TEX y me toma tiempo escribirlos.
Ser capaz de desacoplar las ecuaciones depende de la forma de $V(t)$ . Si $V(t)$ es un exponencial complejo simple (a menudo lo que sucede en el contexto de la aproximación de onda giratoria), entonces se puede hacer; si es un coseno o un seno, no puede (esto se llama el modelo Rabi, creo). Hay ejemplos en este sitio: ver aquí y aquí .

udv · Answer 1

El sistema se puede separar, pero no necesariamente de forma agradable. Por ejemplo, la derivada temporal de la primera eq. lee

i ℏ {\ddot{C}}_{1} = - B {\dot{C}}_{1} - \dot{V} C_{2} - V {\dot{C}}_{2}

$i\hbar {\ddot c}_1 = - B {\dot c}_1 - {\dot V}c_2 - V {\dot c}_2$ ahora elimina

c_{2}

$c_2$ usando de nuevo la primera ecuación,

C_{2} = - \frac{i ℏ}{V} {\dot{C}}_{1} - \frac{B}{V} C_{1}

$c_2 = -\frac{i\hbar}{V} {\dot c}_1 - \frac{B}{V} c_1$ y

{\dot{c}}_{2}

${\dot c}_2$ usando la segunda ecuación,

{\dot{c}}_{2} = \frac{i}{ℏ} V c_{1} - \frac{i}{ℏ} B c_{2}

${\dot c_2} = \frac{i}{\hbar}Vc_1 - \frac{i}{\hbar}B c_2$ :

i ℏ {\ddot{C}}_{1} = - B {\dot{C}}_{1} + i ℏ \frac{d en V}{d t} {\dot{C}}_{1} + B \frac{d en V}{d t} C_{1} - \frac{i}{ℏ} V^{2} C_{1} + \frac{i}{ℏ} B V (- \frac{i ℏ}{V} {\dot{C}}_{1} - \frac{B}{V} C_{1}) = 0

$i\hbar {\ddot c}_1 = - B {\dot c_1} + i\hbar \frac{d\ln V}{dt} {\dot c}_1 + B \frac{d\ln V}{dt} c_1 - \frac{i}{\hbar}V^2c_1 + \frac{i}{\hbar} BV\left(-\frac{i\hbar}{V} {\dot c}_1 - \frac{B}{V} c_1\right) = 0$ Simplificar, reorganizar y obtener

{\ddot{C}}_{1} - \frac{d en V}{d t} {\dot{C}}_{1} + [\frac{i}{ℏ} B \frac{d en V}{d t} + \frac{B^{2} + V^{2}}{ℏ^{2}}] C_{1} = 0

${\ddot c}_1 - \frac{d\ln V}{dt} {\dot c}_1 + \left[\frac{i}{\hbar}B\frac{d\ln V}{dt} + \frac{B^2 + V^2}{\hbar^2} \right]c_1 = 0$ Del mismo modo para

c_{2}

$c_2$ .

Mejor manera :

Cambiar de $c_1$ , $c_2$ a

C_{+} = C_{2} + C_{1} C_{-} = C_{2} - C_{1}

$c_+ = c_2 + c_1\\ c_- = c_2 - c_1$ tal que el sistema se vuelve

i ℏ {\dot{C}}_{+} = - V (t) C_{+} + B C_{-} i ℏ {\dot{C}}_{-} = B C_{+} + V (t) C_{-}

$i\hbar {\dot c}_+ = -V(t) c_+ + B c_-\\ i\hbar {\dot c}_- = B c_+ + V(t) c_-\\$ Aplicando el mismo procedimiento de eliminación para

c_{-}

$c_-$ , esta vez usando

C_{-} = \frac{i ℏ}{B} {\dot{C}}_{+} + \frac{V}{B} C_{+} {\dot{C}}_{-} = - \frac{i}{ℏ} B C_{+} - \frac{i}{ℏ} V C_{-} = - \frac{i}{ℏ} B C_{+} - \frac{i}{ℏ} V [\frac{i ℏ}{B} {\dot{C}}_{+} + \frac{V}{B} C_{+}] = \frac{V}{B} {\dot{C}}_{+} - \frac{i}{ℏ} \frac{B^{2} + V^{2}}{B} C_{+}

$c_- = \frac{i\hbar}{B}{\dot c}_+ + \frac{V}{B}c_+\\ {\dot c_-} = - \frac{i}{\hbar}Bc_+ - \frac{i}{\hbar}Vc_- = - \frac{i}{\hbar}Bc_+ - \frac{i}{\hbar}V\left[\frac{i\hbar}{B}{\dot c}_+ + \frac{V}{B}c_+\right] = \frac{V}{B}{\dot c}_+ - \frac{i}{\hbar}\frac{B^2 + V^2}{B}c_+$ produce una ecuación de aspecto mucho más simple. para

c_{+}

$c_+$ :

{\ddot{C}}_{+} - \frac{i}{ℏ} \dot{V} C_{+} - \frac{i}{ℏ} V {\dot{C}}_{+} + \frac{i}{ℏ} B {\dot{C}}_{-} = 0 {\ddot{C}}_{+} - \frac{i}{ℏ} \dot{V} C_{+} - \frac{i}{ℏ} V {\dot{C}}_{+} + \frac{i}{ℏ} V {\dot{C}}_{+} + \frac{B^{2} + V^{2}}{ℏ^{2}} C_{+} = 0 {\ddot{C}}_{+} + [\frac{B^{2} + V^{2}}{ℏ^{2}} - \frac{i}{ℏ} \dot{V}] C_{+} = 0

${\ddot c}_+ - \frac{i}{\hbar}{\dot V}c_+ - \frac{i}{\hbar} V {\dot c}_+ + \frac{i}{\hbar} B {\dot c}_- = 0 \\ {\ddot c}_+ - \frac{i}{\hbar}{\dot V}c_+ - \frac{i}{\hbar} V {\dot c}_+ + \frac{i}{\hbar} V {\dot c}_+ +\frac{B^2 + V^2}{\hbar^2}c_+ = 0\\ {\ddot c}_+ + \left[\frac{B^2 + V^2}{\hbar^2} - \frac{i}{\hbar}{\dot V} \right]c_+ = 0$

Gracias. Estaba tratando de hacer esto desde que publiqué esta pregunta ayer. Ahora, las cosas están claras.
Bienvenido. Se agregó una forma mejor, pero tengo la sensación persistente de que una vez vi una solución exacta para este problema, pero no puedo recordar dónde o qué me estoy perdiendo en este momento.

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Rajath Radhakrishnan

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udv

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