Valor propio para el operador de creación para un estado coherente [cerrado]

Question

Valor propio para el operador de creación para un estado coherente [cerrado]

TBBT

Por un estado coherente

| α ⟩ = {mi}^{- \frac{| α |^{2}}{2}} \sum_{norte} \frac{α^{norte}}{\sqrt{norte!}} | norte ⟩

$|\alpha\rangle=e^{-\frac{|\alpha|^{2}}{2}}\sum_{n}\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}|n\rangle$ No puedo resolver el problema de valores propios para

{\hat{a}}^{†} | α ⟩

$\hat{a}^{\dagger}|\alpha\rangle$ dónde

{\hat{a}}^{†}

$\hat{a}^{\dagger}$ es el operador de creación. Solo puedo llegar tan lejos

\begin{aligned} {\hat{a}}^{†} | α ⟩ & = {mi}^{- \frac{| α |^{2}}{2}} \sum_{norte} \frac{α^{norte}}{\sqrt{norte!}} {\hat{a}}^{†} | norte ⟩ \\ = {mi}^{- \frac{| α |^{2}}{2}} \sum_{norte} \frac{α^{norte}}{\sqrt{norte!}} \sqrt{norte + 1} | norte + 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \hat{a}^{\dagger}|\alpha\rangle&=e^{-\frac{|\alpha|^{2}}{2}}\sum_{n}\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}\hat{a}^{\dagger}|n\rangle\\ &=e^{-\frac{|\alpha|^{2}}{2}}\sum_{n}\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}\sqrt{n+1}|n+1\rangle \end{align}$

En última instancia, quiero calcular $\langle \alpha |a\hat{a}^{\dagger}|\alpha\rangle$ , pero no sé $\hat{a}^{\dagger}|\alpha\rangle$ .

qfzklm

Conoces el resultado de que un operador de creación actúa sobre un estado propio

| n >

$|n>$ , entonces, solo suma todos los resultados.

TBBT

Hice. Pero luego, me quedé allí después.

innisfree

@qfzklm ¿el resultado simplifica mucho? por ejemplo, ¿la suma resultante es bien conocida?

innisfree

@TBBT, ¿qué resultado espera encontrar?

| α ⟩

$|\alpha\rangle$ no es una función propia del operador de creación: no encontrará algo

\propto | α ⟩

$\propto |\alpha\rangle$ . ¿Quieres saber si la suma se simplifica?

TBBT

Quiero calcular esto,

⟨ α | a a^{†} | α ⟩

$\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle$ . pero no se que

a^{†} | α ⟩

$a^{\dagger}|\alpha\rangle$ es.

zeldredge

@TBBT intente usar relaciones de conmutación para obtener un

a | α ⟩

$a |\alpha \rangle$ ?

Respuestas (3)

Valor propio para el operador de creación para un estado coherente [cerrado]

Conoces el resultado de que un operador de creación actúa sobre un estado propio $|n>$ , entonces, solo suma todos los resultados.
@qfzklm ¿el resultado simplifica mucho? por ejemplo, ¿la suma resultante es bien conocida?
@TBBT, ¿qué resultado espera encontrar? $|\alpha\rangle$ no es una función propia del operador de creación: no encontrará algo $\propto |\alpha\rangle$ . ¿Quieres saber si la suma se simplifica?
Quiero calcular esto, $\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle$ . pero no se que $a^{\dagger}|\alpha\rangle$ es.
@TBBT intente usar relaciones de conmutación para obtener un $a |\alpha \rangle$ ?

Selene Routley · Answer 1

Para agregar a la respuesta correcta de Innisfree , me gustaría enfatizar algo que el OP no parece saber y es que el operador de creación no tiene vectores propios (ni, por lo tanto, valores propios). Es fácil ver esto: escribe un estado general como un vector fila $(\psi_0,\,\psi_1,\,\cdots)$ de pesos de superposición para los estados numéricos $|0\rangle,\,|1\rangle,\,\cdots$ y en esta notación, nuestra ecuación de valores propios (en $\lambda$ ) para $a^\dagger$ es:

a^{†} (ψ_{0}, ψ_{1}, \dots) = (0, ψ_{0}, \sqrt{2} ψ_{1}, \sqrt{3} ψ_{2}, \dots) = λ (ψ_{0}, ψ_{1}, \dots)

$a^\dagger (\psi_0,\,\psi_1,\,\cdots) =(0,\,\psi_0,\,\sqrt{2} \psi_1,\,\sqrt{3} \psi_2,\,\cdots) = \lambda (\psi_0,\,\psi_1,\,\cdots)$

de donde obtenemos $\lambda \,\psi_n=\sqrt{n}\psi_{n-1}$ y $\lambda\,\psi_0=0$ . Si $\lambda = 0$ se sigue de inmediato que $\psi_n=0\,\forall\,n\in\mathbb{N}$ . Si $\lambda\neq 0$ , entonces $\psi_0=0$ , de donde (por inducción a través de $\psi_n = \sqrt{n}\psi_{n-1}/\lambda$ ) $\psi_n=0\,\forall\,n\in\mathbb{N}$ . Por lo tanto, no existe una superposición normalizable de estados numéricos que sea un vector propio para $a^\dagger$ . ¡Por lo tanto, no es sorprendente que el OP tuviera dificultades!

Esto también está en mi respuesta;) es lo mismo que el comentario "Puedes ver rápidamente..."
@innisfree Ah, lo siento, me lo perdí. Solo quería enfatizar un poco más en el OP (porque puedo recordar en una etapa asumiendo que el operador de creación tendría un vector propio). Sin duda recordará la inexistencia de autovectores de operadores de creación a partir de hoy.
No te preocupes, es útil que lo hayas enfatizado un poco más que yo.
"puedes ver rápidamente" es bueno, pero a veces es útil tener las cosas detalladas. Encontré esta respuesta útil.

innisfree · Answer 2

Un estado coherente es, entre otras cosas interesantes, un estado propio del operador de aniquilación . No es un estado propio del operador de creación; por lo tanto, no estoy seguro de que este "problema de valores propios" tenga mucho sentido.

Esto es fácil de darse cuenta. Puedes ver rápidamente que $\langle0|a^\dagger|\alpha\rangle=0$ , mientras $\langle0|\alpha\rangle\neq0$ .

Si realmente quieres encontrar $\langle \alpha | a a^\dagger|\alpha\rangle$ en por ejemplo

⟨ X^{2} ⟩ \propto ⟨ α | (a + a^{†}) (a + a^{†}) | α ⟩

$\langle x^2 \rangle \propto \langle \alpha | (a+a^\dagger)(a+a^\dagger)|\alpha\rangle$ puedes conmutar a los operadores

a

$a$ y

a^{†}

$a^\dagger$ con la regla

[a, a^{†}] = 1

$[a,a^\dagger] = 1$ , tal que

⟨ α | a a^{†} | α ⟩ = ⟨ α | a^{†} a | α ⟩ + 1 = 1 + | α |^{2}

Estás en lo correcto. Sin embargo, todavía no puedo calcular, $\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle$ . Tengo que resolver algo en mi tarea que se parece a esto, $\langle\alpha|aa|\alpha\rangle+\langle\alpha|a^{\dagger}a^{\dagger}|\alpha\rangle+\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle+\langle\alpha|a^{\dagger}a|\alpha\rangle$
Puedo resolver tres de los cuatro términos anteriores, pero no el $\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle$
Creo que es bastante sencillo: simplemente conmutar a los operadores. Ver mi respuesta editada.

petirrojo · Answer 3

Usando la definición del operador de creación, $a^\dagger = c(m\omega \hat x - i\hat p)$ dónde $c$ es una constante y $\hat p = -i\hbar\partial_x$ , puedes escribir el problema de valores propios en la representación de posición como

(metro ω X - ℏ \partial_{X}) ψ = α ψ .

$(m\omega x - \hbar\partial_x)\psi = \alpha\psi.$ Puedes resolver esta ecuación diferencial para encontrar

ψ = C Exp (metro ω X^{2} / ℏ - α X / ℏ)

$\psi = C\exp(m\omega x^2/\hbar - \alpha x/\hbar)$ que claramente no es normalizable. Por lo tanto, el operador de creación no tiene estados propios normalizables.

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