¿Por qué sss (y mmm) del estado propio ∣∣s,m⟩|s,m⟩\big |s,m \big > sale del estado y entra en el valor propio junto con ℏℏ\hbar?

Lo que sucede es que estamos etiquetando estados por sus valores propios. Por definición, el estado$|\psi\rangle$tal que$S^2 |\psi\rangle = s(s+1) \hbar^2 |\psi\rangle$y$S_z |\psi\rangle = m \hbar |\psi\rangle$se denotará por$|s, m\rangle$en lugar de$|\psi\rangle$. Es solo una notación, pero es muy útil porque evitamos usar nombres redundantes como$\psi$: el valor propio es todo lo que necesitamos saber sobre el estado, así que lo usamos como nombre.

Tiene razón en que los estados que llamamos$|1/2, \pm 1/2\rangle$son exactamente iguales a los$|\pm \hat{\mathbf{z}}\rangle$. En este último, el hecho de que el espín total$s$es$1/2$está implícito; como dijiste, si queremos tener valores más generales de$s$tenemos que decir cuál es.

Esta es parte de la razón por la que la notación de Dirac es tan agradable, que es que evitamos nombres desagradables como$v_{s,m}$y en su lugar solo usa el$|\ \rangle$para denotar que algo es un vector, y luego poner lo que queramos dentro del paréntesis. Sin embargo, nos encontramos con un pequeño problema si queremos usar$S_x$en lugar de$S_z$etiquetar estados, porque el hecho de que$m$es el valor propio de$S_z$está implícito. En ese caso tendríamos que advertir al lector que$m$representará el valor propio de$S_x$(sin el$\hbar$), o usar notación como$|s,m_x\rangle$. Nuevamente, esto es parte de la belleza de todo: puedes escribir lo que quieras dentro del paréntesis. Incluso verás a la gente escribir cosas como$|\text{alive}\rangle$y$|\text{dead}\rangle$cuando se habla de gatos cuánticos.