Valores propios de la matriz de bloques que comprende matrices diagonales

Para el caso general, suponga que las matrices diagonales tienen tamaño$m \times m$, y deja$d_{ijk}$denota el$k$ª entrada diagonal de la matriz diagonal$D_{ij}$. Su matriz se puede escribir en la forma

$$A = \sum_{i,j = 1}^n \sum_{k = 1}^m d_{ijk} \cdot E_{ij}^{(n)} \otimes E_{kk}^{(m)}$$ dónde$\otimes$denota un producto de Kronecker y$E_{ij}^{(n)}$es el$n \times n$matriz con un$1$como su$i,j$entrada y ceros en otros lugares. Esta matriz es similar a la matriz $$B = \sum_{i,j = 1}^n \sum_{k = 1}^m d_{ijk} \cdot E_{kk}^{(m)} \otimes E_{ij}^{(n)},$$ que tiene la forma de bloque diagonal $$B = \pmatrix{B_1\\ & \ddots \\ && B_n}$$ donde el$i,j$entrada de$B_k$es$d_{ijk}$.

En otras palabras, el espectro de$A$es el espectro combinado de cada uno de los$n \times n$matrices$B_1,\dots,B_m$.

En el caso especial en que$D_{ij} = c_{ij}I_d$, hay una respuesta usando el producto Kronecker, porque puedes escribir tu matriz:

$$A=c \otimes I_d$$

En consecuencia, los valores propios de$A$son todos los productos posibles de valores propios de$c$con valores propios de$I_d$; dicho de otro modo, el espectro de$D$es el espectro de$c$, cada valor propio tiene multiplicidad$d$.