¿Cómo obtener los mismos vectores propios de un valor propio degenerado a medida que la matriz evoluciona ligeramente?

Question

¿Cómo obtener los mismos vectores propios de un valor propio degenerado a medida que la matriz evoluciona ligeramente?

matrices
Matemáticas
álgebra lineal
matrices-simétricas
valores propios-vectores propios

Alireza

tengo un $n\times n$ matriz compleja normal simétrica que siempre tiene $\frac 23 n$ valores propios degenerados. ( $n$ está siempre en forma de $3k \quad k=1,2,...)$

por ejemplo en $6\times 6$ caso de que tenga valores propios $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_4$ .

Sé que un valor propio degenerado creará un $2D$ espacio de vectores propios que se le pueden asociar. Necesito medir la evolución de estos vectores propios ya que la matriz cambia muy levemente en cada paso (con una variable de bucle llamada $\omega$ ), que tengo un código de computadora escrito para él. Calcula la siguiente fórmula para autovectores y parcelas $\tau-\omega$ .

F_{i j} (α, β) = \sum_{yo = 1}^{norte} F (ω, λ_{yo}) \frac{⟨ i α | yo ⟩ ⟨ \bar{yo} | j β ⟩}{⟨ yo | \bar{yo} ⟩}

$f_{ij}(\alpha,\beta)=\sum_{l=1}^nF(\omega,\lambda_l)\frac {\langle i\alpha\lvert l\rangle \langle\bar l\lvert j\beta\rangle}{\langle l\lvert \bar l \rangle}$

τ_{i j} (ω) = C (ω) \sum_{α β} | F_{i j} (α, β) |^{2}

$\tau_{ij}(\omega)=C(\omega)\sum_{\alpha \beta}\lvert f_{ij}(\alpha,\beta)\lvert^2$

Dónde $\langle i\alpha\lvert$ y $\lvert j\beta\rangle$ son base de un $nD$ espacio, $\langle \bar l\lvert$ es la notación para vector propio $\lvert l\rangle$ transpuesto (no conjugado), $(i,j)$ son índices de $1$ a $n$ , por lo que tendríamos $n^2$ valores de $\tau$ cambiando como $\omega$ cambios. (y $\tau_{ij}=\tau_{ji}$ )

El problema es que el código de computadora elige uno de los infinitos vectores propios posibles para los valores propios degenerados en cada iteración como $\omega$ cambia por lo que el final $\tau-\omega$ parcela tiene ruidos.

La primera imagen es el aspecto que se supone que debe tener el resultado y la segunda indica el problema. Estas no son salidas de alta resolución, pero creo que hacen el trabajo.

Estos ruidos se desvanecen cuando uso solo los valores propios y vectores no degenerados o cuando uso una aproximación muy mala para hacer que la matriz sea hermitiana. Así que el problema de la degeneración es el caso aquí.

Pregunta: ¿Hay alguna forma de evitar este problema para monitorear el comportamiento de los vectores propios degenerados a medida que la matriz cambia ligeramente?

(Uso LAPACK para calcular los vectores propios si es importante)

Keith McClary

Si los elementos de la matriz son funciones analíticas de algún parámetro, entonces los vectores propios son funciones analíticas del paramero.

Respuestas (2)

¿Cómo obtener los mismos vectores propios de un valor propio degenerado a medida que la matriz evoluciona ligeramente?

Si los elementos de la matriz son funciones analíticas de algún parámetro, entonces los vectores propios son funciones analíticas del paramero.

Marc van Leeuwen · Answer 1

Suponiendo la multiplicidad $k$ de un valor propio $\lambda_i$ es fijo y conocido, puede representar el $k$ Sin embargo , el espacio propio -dimensional como una línea única $0$ en el poder exterior $\wedge^k(V)$ de ti $n$ -espacio dimensional (cuya potencia tiene dimensión $\binom nk$ ). Entonces puedes representar la línea por uno de los dos vectores unitarios que contiene; con suerte, puede controlar cuál se elige de una manera razonable. De esta forma suprimes la arbitrariedad de la elección de una base para el espacio propio.

Para obtener más detalles sobre cómo hacer esto, consulte la incrustación de Plücker y las coordenadas de Grassmann.

usuario1551 · Answer 2

(Demasiado largo para un comentario.)

Suponga que puede rastrear los valores propios y la multiplicidad de cada valor propio permanece sin cambios. Es decir, supongamos $A(t)$ es una matriz normal que varía continuamente en el tiempo $t$ , y $\lambda(t)$ es uno de sus valores propios que varía continuamente en $t$ y cuya multiplicidad permanece invariable durante una ventana de tiempo. Dejar $B$ y $C$ ser dos matrices, cada una con columnas ortonormales, tales que las columnas de $B$ son los vectores propios unitarios de $\lambda(t_1)$ y las columnas de $C$ es un conjunto generador para el espacio propio para $\lambda(t_2)$ en algún momento $t_2$ cerca de $t_1$ . Entonces, básicamente, está preguntando cómo encontrar un conjunto de vectores unitarios que abarque el espacio de la columna $C$ y también está cerca de las columnas de $B$ . En otras palabras, necesitas encontrar una matriz unitaria $Q$ que minimiza la norma de Frobenius de $B-CQ$ .

Si este es el caso, la solución al problema clásico de mínimos cuadrados anterior es $Q=VU^\ast$ , dónde $USV^\ast$ es una descomposición en valores singulares del producto de matrices $B^\ast C$ . Por lo tanto, puede elegir las columnas de $B$ como los vectores propios para $\lambda(t_1)$ y las columnas de $CQ$ como los vectores propios para $\lambda(t_2)$ .

Sin embargo, las cosas se ponen más feas si los caminos de los valores propios se cruzan entre sí.

No estoy seguro de si la multiplicidad de cada valor propio permanece sin cambios, estoy más buscando una solución general porque puedo verificar la multiplicidad o el cruce de caminos en matrices pequeñas, pero esta matriz será enorme en cálculos reales ( $n>3000$ )

¿Cómo obtener los mismos vectores propios de un valor propio degenerado a medida que la matriz evoluciona ligeramente?

Alireza

Keith McClary

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Marc van Leeuwen

usuario1551

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