¿Se pueden descomponer libremente las transformaciones lineales en 2 transformaciones sobre conjuntos de bases mutuamente ortogonales?

Si entiendo su pregunta correctamente (hágamelo saber de lo contrario), usted está preguntando si, dada una base$v_1,\ldots,v_n,w_1,\ldots,w_m$con$v_i\cdot w_j=0$para cada$i,j$, y una transformación lineal$T:U\to U,$podemos descomponer$T$como una suma$T=T_1\oplus T_2$, de modo que$T(u+w)=T_1u+T_2w$para cada$u\in V=\text{span}\{v_1,\ldots,v_n\}$y$w\in W=\text{span}\{w_1,\ldots,w_m\}$.

La respuesta es entonces no. Aquí está el ejemplo clásico. Considere el espacio vectorial bidimensional sobre$\mathbb R$con base$(0,1),(1,0)$, entonces la transformación lineal$T=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$no es diagonalizable, por lo que no se descompone como una suma$T_1\oplus T_2$.

Editar: para que$T$expresarse como una suma directa de transformaciones lineales en$V$y$W$, debe ser invariante en$V$y$W$, es decir.$Tv\in V$y$Tw\in W$para cada$v\in V$,$w\in W$. Por ejemplo, la transformación lineal$T=\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&5&0&0\\0&0&1&2\\0&0&3&4\end{bmatrix}$tiene los subespacios invariantes$V=\text{span}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}$y$W=\text{span}\{(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}$(ortogonales entre sí con el producto interior estándar). En particular,$T$se descompone si y solo si su matriz está formada por bloques de matriz a lo largo de la diagonal, es decir.$T=\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}$.