Matriz inversa de matriz de bloques (Tl∗lS)(Tll∗S)\begin{pmatrix} T & l \\l^*& S \end{pmatrix}

Considere la matriz de bloque especial

A = ( T yo yo ∗ S ) ,
donde suponemos que cada entrada es invertible y yo y yo ∗ denota un escalar (y su complejo conjugado) multiplicado por la identidad, mientras que T y S son matrices completas de igual tamaño.

¿Existe una fórmula simple para la matriz inversa? A − 1 ? Soy consciente de que existen fórmulas generales para las inversas de matrices de bloques, pero pensé que en este caso, ¿las cosas deberían simplificarse?

Por favor hazme saber si tienes preguntas.

No creo que haya una solución especialmente simple para este problema, que la que obtendría al usar el lema de inversión de bloques estándar ( en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#Blockwise_inversion ). La forma final será un poco más limpia, con bonitos complementos de Schur, pero computacionalmente no se obtendrá una mayor aceleración/simplificación (afaik).
bueno, sí, estoy pidiendo una forma final simplificada.
Entonces tal vez puedas intentar desarrollarlo un poco y decir dónde te quedas atascado.

Respuestas (1)

Aplicando la fórmula de inversión de bloques vinculada en los comentarios, tenemos

( A − 1 + A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 − A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 − ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 ( D − C A − 1 B ) − 1 ) = ( T − 1 + | yo | 2 T − 1 ( S − | yo | 2 T − 1 ) − 1 T − 1 − yo T − 1 ( S − | yo | 2 T − 1 ) − 1 − yo ∗ ( S − | yo | 2 T − 1 ) − 1 T − 1 ( S − | yo | 2 T − 1 ) − 1 ) = ( T − 1 [ 1 + | yo | 2 ( T S − | yo | 2 ) − 1 ] − yo ( S T − | yo | 2 ) − 1 − yo ∗ ( T S − | yo | 2 ) − 1 T ( S T − | yo | 2 ) − 1 )

Matriz inversa de matriz de bloques (Tl∗lS)(Tll∗S)\begin{pmatrix} T & l \\l^*& S \end{pmatrix}
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