Encuentre todos los valores propios de la matriz AAA sin calcular su c. polinomio

$A=\begin{pmatrix}6&1&1&1\\ 2&7&2&2\\ 3&3&8&3\\ 4&4&4&9\end{pmatrix}$

Encuentre todos los valores propios de esta matriz, sin calcular su polinomio característico.

Como todas las entradas de cada columna suman 15, un valor propio es$\lambda = 15$. El rastro da$tr(A) = 30$por lo tanto, la suma de los otros valores propios es$15$. y su producto es$125$así que supongo que los otros valores propios son$\lambda = 5,5,5$, que cuando se calcula resulta ser correcto, sin embargo. Esto fue solo una suposición afortunada, ¿hay alguna manera de saberlo con certeza?

Pregunta 2 ¿Esta matriz pertenece a un tipo específico?

Pregunta 3 ¿Hay más matrices cuyos valores propios se pueden encontrar sin calcular$p(\lambda)$? (A excepción de las matrices singulares).