Valores propios y vectores propios de I⊗A + BT⊗II⊗A + BT⊗II \otimes A \ + \ B^T \otimes I (usado en la ecuación de Sylvester)

Dejar$A$y$B$ser$n \times n$matrices cuadradas, con resp. pares propios$(\lambda_i,U_i)$y$(\mu_j,V_j)$.

Dejar$I_n$ser el orden$n$matriz de identidad.

He visto un resultado que dice que el$n^2$valores propios de

$$M_{AB}:=I_n \otimes A \ + \ B^T \otimes I_n$$ son todos los $\lambda_i+\mu_j$.

Mi pregunta es: ¿cómo es posible probarlo y bajo qué condiciones es cierto?

Otro problema: ¿se puede decir algo sobre los vectores propios de$M_{AB}$?

Apéndice: El contexto es el de la ecuación de Sylvester:

Dejar notación$M^{vec}$asociarse con la "vectorialización" de una matriz$M$, obtenido "apilando" sus columnas como en el siguiente ejemplo:

$$\begin{equation} M = \begin{pmatrix}a&c&e\\ b&d&f\end{pmatrix} \ \rightarrow \ M^{vec} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\\ d\\e\\f\end{pmatrix} \end{equation}$$

Necesitaremos la propiedad técnica fundamental del producto Kronecker:

$$\underbrace{(ABC)^{vec}}_{vector}=\underbrace{(C^T \otimes A)}_{matrix}.\underbrace{(B)^{vec}}_{vector} \ \ \ (*)$$

La ecuación de Silvestre es

$$\text{find} \ X \ \ \ \text{such that} \ \ \ AX+XB=C$$

Siendo evidentemente equivalente a

$$(AX)^{vec} + (XB)^{vec} = C^{vec}$$

se puede transformar, usando la propiedad (*) y la linealidad del producto de Kronecker, en:

$$(I \otimes A \ + \ B^T \otimes I)X^{vec}=C^{vec}$$

explicando la utilidad de la matriz$M_{AB}=I \otimes A \ + \ B^T \otimes I$, siendo su inversibilidad una condición para una solución única a la ecuación de Sylvester, estando determinada esta inversibilidad por el hecho de que ninguno de sus valores propios es cero.