Una consulta sobre los valores propios de la matriz anti-involución

Question

Una consulta sobre los valores propios de la matriz anti-involución

matrices
involuciones
Matemáticas
álgebra lineal
valores propios-vectores propios

Dra. Sundar

Una matriz de involución $A$ se define por la condición

\begin{matrix} (1) & A^{2} = I \end{matrix}

$A^2 = I \tag{1}$

Los valores propios de una matriz de involución $A$ son las raíces de la unidad.

Generalizando, una $m$ -matriz de involución $A$ se define por la condición

\begin{matrix} (2) & A^{metro} = I \end{matrix}

$A^m = I \tag{2}$

Los valores propios de un $m$ -matriz de involución $A$ son los $m$ las raíces de la unidad.

De manera similar, una matriz anti-involución $A$ Puede ser definido como

A^{2} = - I

$A^2 = - I$

(Espero que esta sea la definición estándar)

Un ejemplo de una matriz anti-involución es

A = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}]

$A = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

Los valores propios de la matriz anterior $A$ son: $\pm j$ .

La ecuación característica de este $2 \times 2$ matriz $A$ es

λ^{2} + 1 = 0

$\lambda^2 + 1 = 0$

¿Es posible demostrar que los valores propios de una matriz anti-involución son las raíces cuadradas de $-1$ ?

De manera similar, si definimos matriz anti-m-involución $A$ como

A^{metro} = - I,

$A^m = - I,$ ¿Podemos demostrar que sus valores propios son los

m

$m$ las raíces de

- 1

$-1$ ?

No pregunto sobre los vectores propios de las matrices anti-involución, ya que no tengo conocimiento de ningún resultado para los vectores propios de las matrices de involución. Amablemente, ayúdenme con sus valores propios. Gracias.

Respuestas (2)

Una consulta sobre los valores propios de la matriz anti-involución

Fred · Answer 1

Dejar $A^m = - I$ y deja $\lambda$ ser un valor propio de $A$ . Por el teorema del mapeo espectral, $\lambda^m$ es un valor propio de $A^m$ , por eso $\lambda^m$ es un valor propio de $-I$ . Esto da $\lambda^m=-1.$

Dra. Sundar · Answer 2

Dejar $(\lambda, \mathbf{x})$ ser un par propio para una matriz anti-involución $A$ .

Por definición, $A$ satisface $A^2 = -I$ .

Por definición, el par propio $(\lambda, \mathbf{x})$ satisface

A X = λ X, dónde X \neq 0.

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}, \ \ \mbox{where} \ \mathbf{x} \neq 0.$

Desde $A^2 = - I$ , resulta que $A^{-1} = - A$ .

Tenga en cuenta que

\begin{matrix} (1) & A X = λ X ⟺ A^{- 1} [A X] = A^{- 1} [λ X] ⟺ I X = λ (- A X) \end{matrix}

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff A^{-1} [A \mathbf{x}] = A^{-1} [\lambda \mathbf{x}] \iff I \mathbf{x} = \lambda (- A \mathbf{x}) \tag{1}$

Simplificando (1), concluimos que

A X = λ X ⟺ X = - λ (A X) = - λ (λ X) ⟺ (1 + λ^{2}) X = 0 ⟺ λ^{2} + 1 = 0

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff \mathbf{x} = - \lambda (A \mathbf{x}) = - \lambda (\lambda \mathbf{x}) \iff (1 + \lambda^2) \mathbf{x} = 0 \iff \lambda^2 + 1 = 0$

Así, si $\lambda$ es cualquier valor propio de $A$ , entonces satisface $\lambda^2 + 1 = 0$ .

Por lo tanto, los valores propios de una matriz anti-involución $A$ son las raíces cuadradas de $-1$ .

La prueba anterior se puede extender fácilmente al caso general de un anti- $m$ -matriz de involución.

Podemos demostrar que si $\lambda$ es un valor propio de un anti $-m$ -matriz de involución, entonces satisface $\lambda^m + 1 = 0$ .

Doy un bosquejo de la prueba para el anti $-m$ -matriz de involución.

Suponer que $(\lambda, \mathbf{x})$ es un par propio de $A$ .

Desde $A^m = - I$ , resulta que $A^{-1} = - A^{m - 1}$ .

Así, tenemos

\begin{matrix} (2) & A X = λ X ⟺ A^{- 1} [A X] = A^{- 1} [λ X] ⟺ I X = λ (- A^{metro - 1} X) \end{matrix}

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff A^{-1} [A \mathbf{x}] = A^{-1} [\lambda \mathbf{x}] \iff I \mathbf{x} = \lambda (- A^{m - 1} \mathbf{x}) \tag{2}$

Simplificando (2), concluimos que

A X = λ X ⟺ X = - λ (λ^{metro - 1} X) = - λ^{metro} X ⟺ (1 + λ^{metro}) X = 0 ⟺ λ^{metro} + 1 = 0

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff \mathbf{x} = - \lambda (\lambda^{m - 1} \mathbf{x}) = - \lambda^m \mathbf{x} \iff (1 + \lambda^m) \mathbf{x} = 0 \iff \lambda^m+ 1 = 0$

Así, si $\lambda$ es cualquier valor propio de un anti- $m$ -matriz de involución $A$ , entonces satisface $\lambda^m + 1 = 0$ .

Por lo tanto, los valores propios de una matriz anti-involución $A$ son los $m$ raíces de orden th de $-1$ .

Una consulta sobre los valores propios de la matriz anti-involución

Dra. Sundar

Respuestas (2)

Fred

Dra. Sundar

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