Construya una matriz real para valores propios complejos dados

Question

Construya una matriz real para valores propios complejos dados

matrices
Matemáticas
álgebra lineal
valores propios-vectores propios
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usuario404177

Necesito construir matrices de valores reales con valores propios complejos específicos. He visto la matriz complementaria, que hace mi trabajo, pero también hay otras propiedades deseables, así que estoy buscando una construcción más general. Si alguien pudiera arrojar algo de luz, sería increíble.

Los valores propios serán distintos. Se ubicarán en el círculo unitario. Preferiblemente, también podría elegir los vectores propios (sé que se aplicarán algunas restricciones, pero está bien). Sería increíble si la matriz tuviera la menor cantidad de ceros posible.

Entonces, dado que pido mucho, apreciaré la construcción más general.

He visto esta respuesta ( https://math.stackexchange.com/q/1345699 ), pero me pregunto si existe un método que brinde mayor libertad sobre la matriz.

logaritmo

Toda matriz con esos valores propios se obtiene factorizando el polinomio

\prod (x - λ_{i})

$\prod(x-\lambda_i)$ , con

λ_{i}

$\lambda_i$ los valores propios junto con la multiplicidad, sobre los reales (no necesariamente en los factores más pequeños, solo alguna elección de factores), construyendo una matriz diagonal de bloques con las matrices complementarias de cada uno de los factores, y la multiplicación previa y posterior de la matriz resultante con

P^{- 1}

$P^{-1}$ y

P

$P$ , para una matriz real arbitraria

P

$P$ .

Respuestas (1)

Construya una matriz real para valores propios complejos dados

Toda matriz con esos valores propios se obtiene factorizando el polinomio $\prod(x-\lambda_i)$ , con $\lambda_i$ los valores propios junto con la multiplicidad, sobre los reales (no necesariamente en los factores más pequeños, solo alguna elección de factores), construyendo una matriz diagonal de bloques con las matrices complementarias de cada uno de los factores, y la multiplicación previa y posterior de la matriz resultante con $P^{-1}$ y $P$ , para una matriz real arbitraria $P$ .

Ethan Bolker · Answer 1

Construir $M$ con $2 \times 2$ matrices de bloque a lo largo de la diagonal como en la pregunta vinculada. Entonces para cualquier matriz invertible $A$ la matriz $AMA^{-1}$ tendrá los valores propios que desee. puedes diseñar $A$ para obtener las otras propiedades que le interesan.

El original $M$ es probable que sea el que tenga más ceros.

Una matriz cuadrada aleatoria $A$ será invertible (la probabilidad de que el determinante sea $0$ es $0$ ) y estoy bastante seguro $AMA^{-1}$ no tendrá $0$ entradas con probabilidad $1$ .

gracias por la respuesta. ¿Hay alguna forma en que pueda elegir A para tener los vectores propios deseados?
Puede organizar los vectores propios para la transformada $M$ (no los de $A$ ). Dejar $A$ ser la transformación que mapea la base canónica de $\mathbb{R}^n$ a la base (de vectores propios) de su elección. Pero sospecho que hay un problema. Los valores propios complejos se presentan en pares conjugados complejos. Los vectores propios correspondientes abarcan un subespacio real bidimensional en el que $M$ actúa esencialmente como una rotación. No habrá vectores propios cuando piense en términos de acción en un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ . La forma en que maneja esto depende de la información sobre su aplicación que no está en la pregunta.

Construya una matriz real para valores propios complejos dados

usuario404177

logaritmo

Respuestas (1)

Ethan Bolker

usuario404177

Ethan Bolker

Encuentre todos los valores propios de la matriz AAA sin calcular su c. polinomio

¿Cuál es el camino más corto para resolver una matriz con elementos desconocidos y un vector propio?

Límite inferior en el valor propio más pequeño de la matriz (simétrica definida positiva)

¿Cómo obtener los mismos vectores propios de un valor propio degenerado a medida que la matriz evoluciona ligeramente?

Una consulta sobre los valores propios de la matriz anti-involución

¿A qué campo pertenecen las entradas de los vectores propios?

Valores propios y vectores propios de I⊗A + BT⊗II⊗A + BT⊗II \otimes A \ + \ B^T \otimes I (usado en la ecuación de Sylvester)

Límite inferior del valor propio mínimo de B(A+B)−1AB(A+B)−1AB(A+B)^{-1}A

Si para matrices invertibles AAA y XXX, XAX−1=A2XAX−1=A2XAX^{-1}=A^2 entonces los valores propios de AAA son nthnthn^{th} raíces de la unidad.

Valores propios de la matriz de bloques que comprende matrices diagonales