¿A qué campo pertenecen las entradas de los vectores propios?

Sí, los vectores propios también pueden tener coeficientes complejos. Por ejemplo, desde$(1,1)$es un vector propio, entonces también lo es$(i,i)$, ya que es igual a$i(1,1)$.

Generalmente, para un$n \times n$matriz$A$con entradas en el campo$k$(por ejemplo, los números reales$\mathbb R$o los números complejos$\mathbb C$), las entradas de los vectores propios de$A$se acostará en el campo$k.$(Por definición, un vector propio de$A$es un$n \times 1$vector$v$con entradas en$k$tal que$Av = v.$)

Estrictamente hablando, es una buena práctica trabajar en un campo$k$que es algebraicamente cerrado, es decir, un campo sobre el cual todos los polinomios tienen raíces. ($\mathbb C$es quizás el ejemplo más ubicuo de un campo algebraicamente cerrado.) Explícitamente, si$k$es algebraicamente cerrado, entonces cualquier$n \times n$matriz sobre$k$tendrá valores propios (y por lo tanto algunos vectores propios). Por definición, determinamos los valores propios de$A$calculando las raíces del grado$n$polinomio$p(x) = \det(A - xI),$por lo tanto si$k$es algebraicamente cerrado, entonces$p(x) = (x - \lambda_1)^{e_1} \cdots (x - \lambda_k)^{e_k}$para algunos enteros$e_i \geq 0$tal que$e_1 + \cdots + e_k = n.$(Por supuesto, el$\lambda_i$son los valores propios deseados.)

Afirmamos que la siguiente matriz (con entradas vistas como elementos de$\mathbb R$) no tiene valores propios.

Por último, a su pregunta final, cada simétrico$n \times n$matriz sobre$k = \mathbb R$tiene valores propios reales . Aún mejor, tal matriz es ortogonalmente diagonalizable. (Si tiene curiosidad, por supuesto, búsquelo en Google).

Prueba. Considere un simétrico$n \times n$matriz real$A.$Todo número real es complejo (con$0$parte imaginaria), por lo que podemos ver$A$como una matriz compleja. En consecuencia, existe un valor propio$\lambda$de$A$y un vector complejo$v$tal que$Av = \lambda v$(porque$\mathbb C$es algebraicamente cerrado). Observa eso