Límite inferior en el valor propio más pequeño de la matriz (simétrica definida positiva)

Question

Límite inferior en el valor propio más pequeño de la matriz (simétrica definida positiva)

matrices
Matemáticas
álgebra lineal
positivo definitivo
matrices-simétricas
valores propios-vectores propios

ampeo

Si $M$ es una matriz definida positiva simétrica, ¿es posible obtener un límite inferior positivo en el valor propio más pequeño de $M$ en términos de una norma matricial de $M$ o elementos de $M$ ? ej., quiero

λ_{min} \geq F (‖ METRO ‖)

$\lambda_{\text{min}} \geq f(\lVert M \rVert)$ o algo así.

M

$M$ es una matriz de Gram, si eso ayuda.

D Chen

Hola @ampeo, ¿has encontrado la respuesta? Tengo la misma pregunta y todos los límites que puedo obtener son negativos, lo que no tiene ningún sentido para una matriz PD.

usuario7530

Hay un límite obvio en términos de la norma del operador de

M^{- 1}

$M^{-1}$ , por supuesto.

usuario91684

Como escribió user7530,

λ_{m i n}

$\lambda_{min}$ depende esencialmente de

M^{- 1}

$M^{-1}$ . Además, para encontrar una desigualdad en la forma

λ_{m i n} \geq f (| | M | |)

$\lambda_{min}\geq f(||M||)$ está más allá de toda esperanza. Por ejemplo, deja

A_{ϵ} = d i a g (1, ϵ)

$A_{\epsilon}=diag(1,\epsilon)$ . Deberíamos obtener, por cada

ϵ > 0

$\epsilon >0$ ,

ϵ \geq f (1)

$\epsilon\geq f(1)$ (para

| | . | |_{2}

$||.||_2$ ).

matemáticas duras

Los límites inferiores del valor propio más pequeño de una matriz definida positiva están relacionados con las estimaciones del número de condición, para lo cual consulte mi Respuesta a una pregunta de SciComp.SE .

Respuestas (2)

Límite inferior en el valor propio más pequeño de la matriz (simétrica definida positiva)

Hola @ampeo, ¿has encontrado la respuesta? Tengo la misma pregunta y todos los límites que puedo obtener son negativos, lo que no tiene ningún sentido para una matriz PD.
Hay un límite obvio en términos de la norma del operador de $M^{-1}$ , por supuesto.
Como escribió user7530, $\lambda_{min}$ depende esencialmente de $M^{-1}$ . Además, para encontrar una desigualdad en la forma $\lambda_{min}\geq f(||M||)$ está más allá de toda esperanza. Por ejemplo, deja $A_{\epsilon}=diag(1,\epsilon)$ . Deberíamos obtener, por cada $\epsilon >0$ , $\epsilon\geq f(1)$ (para $||.||_2$ ).
Los límites inferiores del valor propio más pequeño de una matriz definida positiva están relacionados con las estimaciones del número de condición, para lo cual consulte mi Respuesta a una pregunta de SciComp.SE .

saeed manaffam · Answer 1

Hay un límite inferior en el valor propio mínimo de la matriz pd simétrica dada en [Matemáticas aplicadas. Sc., vol. 4, núm. 64] que se basa en la norma de Frobenius (F) y la norma euclidiana (E)

λ_{metro i norte} > \sqrt{\frac{| | A | |_{F}^{2} - norte | | A | |_{mi}^{2}}{norte (1 - | | A | |_{mi}^{2} / | d mi t (A) |^{2 / norte})}}

$\lambda_{min} \gt \sqrt{\frac{||A||_F^2-n||A||_E^2}{n(1-||A||_E^2/|det(A)|^{2/n})}}$

si ayuda

[referencia]: KH Schindler, "Un nuevo límite inferior para el valor singular mínimo para matrices no singulares reales mediante una norma matricial y un determinante", Journal of Applied Mathematical Sciences, vol. 4, núm. 64, 2010.

En lugar de volver a publicar (con los mismos "errores tipográficos" que puedo decir), podrías haber editado esta, tu publicación original. Vea el enlace "editar" justo debajo de la Respuesta. Adiviné el paréntesis que no coincidía en el denominador; por favor, compruebe que es correcto.
@Saeed ¡Gracias por esto! ¿Existe la posibilidad de que pueda encontrar el artículo en Google Scholar y publicar un enlace? No puedo encontrarlo en ningún lado (no estoy seguro si Sc. es la abreviatura de algo...)
@Elements también puede buscar el título en Google Scholar: "Un nuevo límite inferior para el valor singular mínimo para matrices no singulares reales mediante una norma matricial y un determinante" Ciencias matemáticas aplicadas vol. 4, núm. 64
@SaeedManaffam El límite de Schindler (incluso como se indica en el artículo publicado) es incorrecto. Puedes echar un vistazo a la prueba y darte cuenta de los errores elementales que ha cometido el autor. Además, vea mi respuesta a math.stackexchange.com/questions/737340/…
n=3 H = {{3, -3, 11}, {-3, 11, -27}, {11, -27, 83}} Min[Eigenvalues[H]] >= Sqrt[(Norm[H]^2 - n Norm[H]^2)/(n (1 - Norm[H]^2/Abs[Det[H]]^(2/n)))] // NSi no me equivoco en ninguna parte, entonces su método no funciona para la matriz propuesta.

evan · Answer 2

Un comentario rápido: si tiene dominancia diagonal, entonces el teorema del círculo de Gerhsgorin para valores propios le dará al menos algo. Entonces, para cada fila, reste el término diagonal de la suma de los valores absolutos de los términos fuera de la diagonal y tome el mínimo sobre las filas. Ese es un límite en el valor propio que será positivo (nuevamente, si tiene dominancia diagonal, que puede no ser válida para todas las matrices de Gram).

Límite inferior en el valor propio más pequeño de la matriz (simétrica definida positiva)

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D Chen

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