Valor esperado del momento angular total ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Question

Valor esperado del momento angular total ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

céfiro

[Estoy trabajando con Griffiths Introducción a la Mecánica Cuántica, 3ra Edición. Mi problema es general, pero si quieres mirar, estoy leyendo del capítulo 4.1 en el que se calcula el efecto Zeeman de campo débil cuando me quedé atascado.]

queremos calcular $E _{z} = e/2m * \vec B_{ext} \cdot < \vec J + \vec S>$

lo resolvemos de modo que todo lo que necesitamos encontrar es $<\vec J>$ .

Yo sé eso $\vec J = \vec L +\vec S$ , y por lo tanto $|\vec J|^2= |\vec L|^2+|\vec S|^2+\vec L \cdot \vec S$ dónde $|\vec L|^2 = \hbar l(l+1)$ y $|\vec s|^2 = \hbar s(s+1)$ en los estados propios del átomo de hidrógeno, pero Griffiths no parece utilizar ninguno de estos hechos y (después de afirmar que el $z$ -el eje estará a lo largo $\vec B _{ext}$ estados

$\vec B \cdot<\vec J> = \hbar m _{j}$

Tal vez solo estoy confundido acerca de qué es J, pero ¿cómo vamos de uno a otro?

céfiro

Ah, espera, es porque el sistema ya estaba en un estado que era un valor propio del momento angular total (porque cuando se trabaja en una división fina, la degeneración de S y L se rompe mientras que J aún conmuta con el hamiltoniano). Por favor corrígeme si me equivoco aquí!

kyle kanos

¿ Cómo pasa lo que pasa de uno a otro? ¿De la primera línea a la última? ¿Algo en el medio?

Respuestas (1)

Valor esperado del momento angular total ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Ah, espera, es porque el sistema ya estaba en un estado que era un valor propio del momento angular total (porque cuando se trabaja en una división fina, la degeneración de S y L se rompe mientras que J aún conmuta con el hamiltoniano). Por favor corrígeme si me equivoco aquí!
¿ Cómo pasa lo que pasa de uno a otro? ¿De la primera línea a la última? ¿Algo en el medio?

usuario82572 · Answer 1

No estoy muy seguro de cuál es su pregunta específica, así que intentaré explicar mejor qué está haciendo Griffiths en su libro.

En la teoría de perturbaciones de primer orden, la corrección de Zeeman a la energía es:

\begin{aligned} {mi}_{Z}^{1} & = ⟨ norte yo j {metro}_{j} | H_{Z}^{'} | norte yo j {metro}_{j} ⟩ \\ = ⟨ norte yo j {metro}_{j} | \frac{mi}{2 metro} (L + 2 S) \cdot B_{extensión} | norte yo j {metro}_{j} ⟩ \\ = \frac{mi}{2 metro} B_{extensión} \cdot ⟨ norte yo j {metro}_{j} | (L + 2 S) | norte yo j {metro}_{j} ⟩ \\ = \frac{mi}{2 metro} B_{extensión} \cdot ⟨ L + 2 S ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} E_{Z}^{1} & = \langle n \; l \; j \; m_{j} \vert H_{Z}^{\prime} \vert n \; l \; j \; m_{j} \rangle \\ & = \langle n \; l \; j \; m_{j} \vert \frac{e}{2m}\left( L + 2S \right) \cdot B_{\text{ext}} \vert n \; l \; j \; m_{j} \rangle \\ & = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}} \cdot \langle n \; l \; j \; m_{j} \vert \left(L + 2S \right) \vert n \; l \; j \; m_{j} \rangle \\ & = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}} \cdot \langle L + 2S \rangle \end{align*}$

Pero desde $J = L + S$ , entonces $L + 2S$ Se puede escribir como $L = J + S$ . Dado que el momento angular total, $J$ , es constante y $L$ y $S$ precesión alrededor $J$ , podemos calcular el valor promedio en el tiempo de $S$ calculando su proyección sobre $J$ :

S_{Cra} = \frac{(S \cdot j)}{j^{2}} j

$S_{\text{ave}} = \frac{\left( S \cdot J \right)}{J^{2}}J$

Así que ahora tenemos que averiguar qué $S \cdot J$ es, que no es inmediatamente obvio. Pero considera lo siguiente:

\begin{aligned} L^{2} & = (j - S) (j - S) = j \cdot j - 2 j \cdot S + S \cdot S \\ = j^{2} + S^{2} - 2 j \cdot S \end{aligned}

$\begin{align*} L^{2} & = \left( J - S \right) \left( J - S \right) = J \cdot J - 2J \cdot S + S \cdot S \\ & = J^{2} + S^{2} - 2J \cdot S \end{align*}$

Y así, si reordenamos esto, obtenemos una expresión para $S \cdot J$ :

S \cdot j = \frac{1}{2} (j^{2} + S^{2} - L^{2})

$S \cdot J = \frac{1}{2}\left(J^{2} + S^{2} - L^{2} \right)$

pero sabemos que $J^{2} = j\left(j + 1\right)h^{2}$ , y del mismo modo con $S^{2}$ y $L^{2}$ ; por lo que nuestra expresión se convierte en:

\begin{aligned} S \cdot j & = \frac{1}{2} [j (j + 1) ℏ^{2} + s (s + 1) ℏ^{2} - yo (yo + 1) ℏ^{2}] \\ = \frac{ℏ^{2}}{2} [j (j + 1) + s (s + 1) - yo (yo + 1)] \end{aligned}

$\begin{align*} S \cdot J & = \frac{1}{2}\left[j\left(j + 1\right)\hbar^{2} + s\left(s + 1\right)\hbar^{2} - l\left(l + 1\right)\hbar^{2} \right] \\ & = \frac{\hbar^{2}}{2}\left[j\left(j + 1\right) + s\left(s + 1\right) - l\left(l + 1\right) \right] \end{align*}$

Y así se sigue que:

\begin{aligned} ⟨ L + 2 S ⟩ & = ⟨ j + S ⟩ \\ = ⟨ (1 + \frac{S \cdot j}{j^{2}}) j ⟩ \\ = [1 + \frac{\frac{ℏ^{2}}{2} [j (j + 1) + s (s + 1) - yo (yo + 1)]}{j (j + 1) ℏ^{2}}] ⟨ j ⟩ \\ = [1 + \frac{[j (j + 1) + s (s + 1) - yo (yo + 1)]}{2 j (j + 1)}] ⟨ j ⟩ \\ = {gramo}_{j} ⟨ j ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} \langle L + 2S \rangle & = \langle J + S \rangle \\ & = \langle \left( 1 + \frac{S \cdot J}{J^{2}} \right)J \rangle \\ & = \left[ 1 + \frac{\frac{\hbar^{2}}{2}\left[j\left(j + 1 \right) + s\left(s + 1\right) - l\left(l + 1\right) \right]}{j\left(j + 1\right)\hbar^{2}}\right]\langle J \rangle \\ & = \left[ 1 + \frac{\left[j\left(j + 1 \right) + s\left(s + 1\right) - l\left(l + 1\right) \right]}{2j\left(j + 1\right)}\right]\langle J \rangle \\ & = g_{J}\langle J \rangle \end{align*}$

dónde $g_{J}$ es el factor g de Landé.

Recuerde nuestra expresión para la corrección de primer orden de la energía:

{mi}_{Z}^{1} = \frac{mi}{2 metro} B_{extensión} \cdot ⟨ L + 2 S ⟩

$E_{Z}^{1} = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}}\cdot \langle L + 2S \rangle$

Acabamos de demostrar que $\langle L + 2S \rangle = g_{J} \langle J \rangle$ , entonces tenemos:

{mi}_{Z}^{1} = \frac{mi}{2 metro} B_{extensión} \cdot {gramo}_{j} ⟨ j ⟩

$E_{Z}^{1} = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}} \cdot g_{J} \langle J \rangle$

En este punto, podemos elegir que el eje z se encuentre a lo largo de la dirección de $B_{\text{ext}}$ . En este caso, $B_{\text{ext}} \cdot \langle J \rangle = B_{\text{ext}} \langle J_{z} \rangle$ . Por supuesto, el valor esperado $\langle J_{z} \rangle = \hbar m_{j}$ , y así tenemos:

\begin{aligned} {mi}_{Z}^{1} & = \frac{ℏ mi}{2 metro} B_{extensión} {gramo}_{j} {metro}_{j} \\ = m_{B} B_{extensión} {gramo}_{j} {metro}_{j} \end{aligned}

$\begin{align*} E_{Z}^{1} & = \frac{\hbar e}{2m}B_{\text{ext}}g_{J}m_{j} \\ & = \mu_{B} B_{\text{ext}}g_{J}m_{j} \end{align*}$

dónde $\mu_{B}$ es el magnetón de Bohr.

Valor esperado del momento angular total ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

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céfiro

kyle kanos

Respuestas (1)

usuario82572

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