Problema sobre el momento angular en la mecánica cuántica

Question

Problema sobre el momento angular en la mecánica cuántica

pter26

Una partícula con espín $\frac{1}{2}$ en $t=0$ está en un estado cuántico descrito por la función de onda:
$Ψ = (| + ⟩ + (1 + porque θ) | - ⟩) F (r) .$ $\Psi=(|+\rangle +(1+\cos\theta) |-\rangle)f(r).$ La evolución temporal está dada por $H = \frac{ω}{ℏ} (L_{X}^{2} + L_{y}^{2})$ $H=\frac{\omega} {\hbar} (L_x^2+L_y^2)$

Tengo que calcular el valor esperado del operador. $O=J_+J_-$

Debido a la presencia del coseno escribí la parte angular del estado cuántico con los armónicos esféricos, sé que

Y_{1}^{0} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} C o s θ

$Y_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}cos\theta$ (

Y_{ℓ}^{m}

$Y_\ell^m$ ) Entonces

C o s θ = \sqrt{\frac{4 π}{3}} Y_{1}^{0}

$cos\theta=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}Y_1^0$ yo tambien se que

Y_{0}^{0} = \sqrt{\frac{1}{4 π}}

$Y_0^0=\sqrt{\frac{1}{4\pi}}$ Al final obtuve (después de una renormalización)

Ψ = gramo (r) (| 00 ⟩ | + ⟩ + | 00 ⟩ | - ⟩ + \frac{1}{\sqrt{3}} | 10 ⟩ | - ⟩)

$\Psi=g(r) (|00\rangle|+\rangle+|00\rangle|-\rangle+\frac{1}{\sqrt{3}}|10\rangle|-\rangle)$ Dónde

| L^{2}, L_{z} ⟩ = | 00 ⟩ = Y_{0}^{0}

$|L^2, L_z\rangle=|00\rangle=Y_0^0$ y

| 10 ⟩ = Y_{1}^{0}

$|10\rangle=Y_1^0$

Con la evolución temporal obtenida:

Ψ_{t} = gramo (r) (| 00 ⟩ | + ⟩ + | 00 ⟩ | - ⟩ + \frac{1}{\sqrt{3}} {mi}^{- \frac{i ω t}{\sqrt{3}}} | 10 ⟩ | - ⟩)

$\Psi_t=g(r) (|00\rangle|+\rangle+|00\rangle|-\rangle+\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-\frac{i\omega t} {\sqrt{3}}}|10\rangle|-\rangle)$ pero ahora debo aplicar la composición de momentos angulares, para poder calcular

⟨ O ⟩

$\langle O\rangle$ y aquí está el problema, nunca he aplicado la composición en un caso de una función de onda dependiendo de dos valores diferentes de

ℓ

$\ell$ , pensé que podría tratar por separado las dos partes con diferentes

ℓ

$\ell$ pero no se si es posible! ¿Como puedó resolver esté problema?

Deschele Schilder

¿Cómo encontraste, (después de una renormalización), el factor

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ ? ¿No debería ser

\sqrt{1 - \frac{1}{π}}

$\sqrt{1-\frac{1}{\pi}}$ ? ¿Y por qué lo reemplazaste?

f (r)

$f(r)$ por

g (r)

$g(r)$ ?

Respuestas (1)

Problema sobre el momento angular en la mecánica cuántica

¿Cómo encontraste, (después de una renormalización), el factor $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ? ¿No debería ser $\sqrt{1-\frac{1}{\pi}}$ ? ¿Y por qué lo reemplazaste? $f(r)$ por $g(r)$ ?

secavara · Answer 1

No creo que sea necesario ir a la base del momento angular total para calcular esa expresión. En principio, podrías simplemente escribir

O = j_{+} j_{-} = (L_{+} + S_{+}) (L_{-} + S_{-})

$\begin{equation} O = J_+ J_- = (L_+ + S_+)(L_- + S_-) \end{equation}$ y use las fórmulas usuales para estos operadores de escalera.

Incluso puede simplificar el cálculo utilizando el hecho de que el conjugado hermitiano de $J_+$ es $J_-$ y viceversa. Lo que significa que puedes calcular primero el estado $|\phi\rangle = J_- |\psi\rangle$ . Y luego darse cuenta de que

⟨ ψ | O | ψ ⟩ = ⟨ ψ | j_{+} j_{-} | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ϕ ⟩ .

$\begin{equation} \langle\psi|O|\psi\rangle = \langle\psi|J_+ J_-|\psi\rangle =\langle\phi|\phi\rangle . \end{equation}$ Así que todo se trata de computación.

J_{-} | ψ ⟩ = (L_{-} + S_{-}) | ψ ⟩

$J_- |\psi\rangle = (L_- + S_-) |\psi\rangle$ y encontrar el producto interior consigo mismo.

¿Y si tengo que encontrar el valor medio de $J^2$ en una situación como esta?
Puedes usar trucos similares. En este caso, dado que ya ha calculado el valor esperado de $J_+ J_-$ , puedes usar la identidad $J^2 = J_+ J_- + J^2_z - \hbar J_z$ . y luego escribir $J_z = L_z + S_z$ .

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pter26

Deschele Schilder

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secavara

pter26

secavara

Valores esperados de los operadores LxLxL_x y LyLyL_y en LzLzL_z-eigenstates

Restricción en los números cuánticos del momento angular orbital

Valor esperado del operador de posición para estados de momento angular

Transformación a un marco giratorio en la base xxx

Valor esperado del momento angular total ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Conjugado hermitiano del operador diferencial

Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

¿Podemos probar esto sin un cálculo explícito?

Problemas para entender el ejercicio de Nielsen & Chuang