Conjugado hermitiano del operador diferencial

Question

Conjugado hermitiano del operador diferencial

Evento Fringe

ayúdame a encontrar $\hat{B^\dagger}$ , cuando sabemos que

\hat{B} = i \frac{d}{d r}

$\hat{B}=i\frac{d}{dr}$ con la condición de que

\hat{B}

$\hat{B}$ se define en coordenadas esféricas. Mi acercamiento:

⟨ ψ | \hat{B} ψ ⟩ = \int_{0}^{\infty} ψ^{*} i \frac{d}{d r} ψ d r = ψ^{*} ψ |_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} ψ i \frac{d}{d r} ψ^{*} d r = ⟨ \hat{B} ψ | ψ^{*} ⟩

$\langle\psi|\hat{B}\psi\rangle=\int_{0}^{\infty} \psi^* i\frac{d}{dr} \psi dr=\psi^*\psi|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\psi i\frac{d}{dr}\psi^*dr=\langle\hat{B}\psi|\psi^*\rangle$ y así lo consigo

\hat{B^{†}} = - i \frac{d}{d r}

$\hat{B^\dagger} = -i\frac{d}{dr}$ . ¿Alguien podría confirmar si esto es correcto?

Gert

¿Cómo pueden las coordenadas esféricas después de la transformación a cartesianas dar lugar a un operador en una sola dimensión?

Evento Fringe

B se define en el sistema de coordenadas esféricas (en mi problema). La muestra d/dx, que comencé a preparar para mi problema principal, es una cosa separada, donde resolvemos solo en una dimensión. En cuanto a por qué B se define en la esférica, no lo sé, pero no es un problema fácil.

RivuxG

Aquí puede encontrar una solución completa al problema. Utpal Roy, Suranjana Ghosh. Kaushik Bhattacharya, Algunas complejidades del operador de momento en la mecánica cuántica.

Respuestas (2)

Conjugado hermitiano del operador diferencial

¿Cómo pueden las coordenadas esféricas después de la transformación a cartesianas dar lugar a un operador en una sola dimensión?
B se define en el sistema de coordenadas esféricas (en mi problema). La muestra d/dx, que comencé a preparar para mi problema principal, es una cosa separada, donde resolvemos solo en una dimensión. En cuanto a por qué B se define en la esférica, no lo sé, pero no es un problema fácil.
Aquí puede encontrar una solución completa al problema. Utpal Roy, Suranjana Ghosh. Kaushik Bhattacharya, Algunas complejidades del operador de momento en la mecánica cuántica.

RC Drost · Answer 1

Entonces sí, lo que debe hacer es integrar con éxito por partes. En coordenadas esféricas la integral es:

⟨ ϕ | \hat{B} | ψ ⟩ = \int_{0}^{\infty} d r \int_{0}^{π} r d ϕ \int_{0}^{2 π} r pecado ϕ d θ ϕ^{*} (r, ϕ, θ) i {(\frac{\partial ψ}{\partial r})}_{ϕ, θ} .

$\langle\phi|\hat B|\psi\rangle = \int_0^\infty dr~\int_0^\pi r~d\phi~\int_0^{2\pi}r\sin\phi~d\theta\;\phi^*(r,\phi,\theta) ~i\left(\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)_{\phi,\theta}.$ La integración por partes sobre la variable

r

$r$ diferencia

r^{2} ϕ^{*} (\dots)

$r^2 \phi^*(\dots)$ productor

2 r ϕ^{*} + r^{2} \partial_{r} ϕ^{*},

$2r \phi^* + r^2 \partial_r\phi^*,$ pero tenemos que tirar de la

r^{2}

$r^2$ fuera del frente de nuevo, de vuelta a la integral.

Esto significa que el adjunto de $\hat B$ (la cosa que hace lo mismo que $\hat B$ cuando se actúa sobre el espacio sujetador en lugar del espacio ket para todos los productos internos) es

{\hat{B}}^{†} = - i (\frac{2}{r} + \frac{\partial}{\partial r}),

$\hat B^\dagger = -i\left(\frac{2}{r} + \frac \partial{\partial r}\right),$ donde el signo menos proviene de la propia integración por partes.

Descubrimiento · Answer 2

Conjugado hermitiano (también llamado adjunto) del operador $A$ es el operador $A^*$ satisfactorio

⟨ F, A gramo ⟩ = ⟨ A^{*} F, gramo ⟩ para todos F, gramo \in H

$\langle f,Ag\rangle\,=\,\langle A^* f,g\rangle \text{ for all }f,g\,\in H$

H

$H$ es el llamado espacio de Hilbert y

f, g

$f,g$ son vectores. Dado que es nuevo en QM, no debe confundirse con la palabra "espacio de Hilbert". Simplemente trátelo como un caso especial de espacios vectoriales.

Lo que quieres saber es la forma de $A^*$ satisfactorio

⟨ F, i \frac{d gramo}{d X} ⟩ = ⟨ A^{*} F, gramo ⟩ para todos F, gramo \in H

$\langle f,i\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\rangle\,=\,\langle A^* f,g\rangle \,\text{ for all }f,g\,\in H$ y usted parece estar interesado en mostrar la hermiticidad de

A

$A$ , supongamos que la forma de

A^{*}

$A^*$ es también

i \frac{d}{d x}

$i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ y por integración por partes,

⟨ F, i \frac{d gramo}{d X} ⟩ - ⟨ i \frac{d F}{d X}, gramo ⟩ = F^{*} gramo |_{i norte t mi r v a yo}

$\langle f,i\frac{dg}{dx}\rangle-\langle i\frac{df}{dx} ,g\rangle\,=\,f^*g\,|_{interval}$

Las funciones de onda físicamente plausibles en QM suelen ser $f( \infty )=0$ (espacio entero) o $f(2\pi)=f(0)$ (simetría esférica). Con estas condiciones ahora nos enfrentamos $\langle f,i\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\rangle=\langle i\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} ,g\rangle$

Aquí sabemos que $A=i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ es hermitiano, diciendo $A$ tiene su adjunto $A^*=i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ .

De la misma manera usted puede ver que $B=\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}$ es si hermitiano o no.

En QM, los operadores que corresponden a cantidades físicas son autoadjuntos, no solo hermitianos, a pesar de que muchos libros básicos de QM se concentran en la hermitianidad de los operadores, por lo que una vez que tenga confianza en las teorías de los operadores, puede seguir adelante para ver qué auto. -la conjunción es.

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En su enfoque, lo que debe considerar es

elemento de volumen de coordenadas esféricas es $dV=r^2 sin\theta drd\theta d\rho$ No solo $dV=drd\theta d\rho$ .
$\langle B\psi|\psi\rangle=\int d\tau \overline{B \psi(\tau)}\psi$ , no solo $\langle B\psi|\psi\rangle=\int d\tau {B \psi(\tau)}\psi$
El operador de momento en coordenadas cartesianas es $-i \hbar \frac{d}{dx}$ pero en el espacio esféricamente coordinado, el operador de impulso correspondiente debería cambiar su forma, no simplemente $-i \hbar \frac{d}{dr}$ . Por lo tanto, no podemos garantizar la Hermitianidad de $-i \hbar \frac{d}{dr}$ .

Sí, leí la teoría, sé la definición de conjugado hermitiano, pero ahora estoy tratando de encontrar estos conjugados para casos específicos. Necesito encontrarlo para B como lo encontré para d/dx
Descubrimiento: hmm, acc. esta fuente quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/… el conjugado hermitiano de $\frac{d}{dx}$ es $-\frac{d}{dx}$ .
@Gert Uhh... Me equivoqué y tenía la intención de mostrar la Hermitianidad de $i\frac{d}{dx}$ . Gracias por señalar
@FringeEvent Desde $\langle B\psi|\psi\rangle=\int d\tau \overline{B \psi(\tau)}\psi$ , debemos prestar atención al símbolo "conjugado" cuando calculamos el producto interno de QM. Edité mi publicación.
@Discovery: Bienvenido. Pero pensé que un elemento de volumen $dV$ en coordenadas esféricas fue dada simplemente por $dV=4\pi r^2dr$ ? (cáscara concéntrica, $dV$ grueso).
@Gert ¿Y si $\psi=F(r)G(\theta)H(\rho)$ ?? Entonces $\langle \psi|\psi\rangle = \int F^*(r)F(r)r^2dr\int G^*(\theta) G(\theta) sin \theta d \theta \int H^*(\rho) H(\rho) d\rho = \int4\pi r^2 dr F^*FG^*GH^*H$ ....?
@Discovery: voy a salir aquí: realmente no sé lo suficiente. Lo siento.

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Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

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