Valor esperado del operador de posición para estados de momento angular

Si${\cal P}$es el operador de paridad unitario y autoadjunto, es bien sabido que${\cal P} |j, m\rangle = (-1)^j|j,m\rangle$mientras

$${\cal P} X_k = -X_k {\cal P} \quad \mbox{and} \quad {\cal P} P_k = -P_k {\cal P}$$ para $k=1,2,3$con $X_k$Operador de posición con respecto al $k$-ésimo eje y $P_k$el operador de cantidad de movimiento análogo.

El texto del ejercicio en realidad está usando un formalismo un poco impropio como$|j,m\rangle$solo especifica la parte del vector en$L^2(\mathbb S^2, d\Omega)$pero nada se dice refiriéndose a la parte radial: otro número cuántico$n$en cuanto a la variable radial,$|n, j, m\rangle$, debe agregarse, pero no importa, ya que no invalida la identidad escrita anteriormente${\cal P} |n, j, m\rangle = (-1)^j|n, j,m\rangle$

El operador que aparece en tu bra-ket es$O= X_1^2 P_1$hasta factores numéricos (y sutilezas con dominios que ignoraré aquí) de modo que,

$${\cal P} O = -O{\cal P}\:.$$ Finalmente, con eso $O$, $$\langle j, m| O|j, m\rangle= (-1)^j \langle j, m| O {\cal P}|j, m\rangle = (-1)^j (-1)\langle j, m| {\cal P} O|j, m\rangle = (-1)^j (-1) (-1)^j\langle j, m| O|j, m\rangle = -\langle j, m| O|j, m\rangle\:.$$ Resumiendo $$\langle j, m| O|j, m\rangle= -\langle j, m| O|j, m\rangle$$ de modo que $$\langle j, m| O|j, m\rangle= 0$$ como quería

Obsérvese que si escribiésemos explícitamente el número cuántico radial, obtendríamos una identidad más precisa

$$\langle n, j, m| O|n', j', m'\rangle =0$$ a lo largo del mismo argumento proporcionado $j+j'$incluso. Insisto en que es posible que tengamos $n \neq n'$y $m \neq m'$arriba.

Como observación final, no es correcto decir que este es el valor esperado de$O$desde$O$no es autoadjunto (ni hermitiano).

Primero debe convertir sus estados de momento angular en armónicos esféricos y luego de armónicos esféricos a coordenadas cartesianas. El problema no menciona ninguna parte radial asi que supongo que sera algo generico$f(r)$.

Alternativamente, puede convertir$\partial/\partial x$y$x^2$a coordenadas esféricas y luego hacer que actúen en los armónicos esféricos apropiados.

En ambos casos es necesario convertir

$$\vert \ell,m\rangle \rightarrow f(r)Y_{\ell,m}(\theta,\phi)\, .$$