¿Podemos probar esto sin un cálculo explícito?

Sí. Puedes hacer esto usando el teorema de Wigner-Eckart, que daría

$$\begin{align} \langle 2,-1\vert z\vert 1,-1\rangle &=\frac{\langle 2\Vert r\Vert 1\rangle}{\sqrt{5}}C^{2,-1}_{1,0;1,-1}\, ,\\ \langle 2,0\vert z\vert 1,0\rangle &=\frac{\langle 2\Vert r\Vert 1\rangle}{\sqrt{5}}C^{2,0}_{1,0;1,0} \end{align}$$ de modo que $$\begin{align} \frac{\langle 2,-1\vert z\vert 1,-1\rangle }{\langle 2,0\vert z\vert 1,0\rangle} = \frac{C^{2,-1}_{1,0;1,-1}}{C^{2,0}_{1,0;1,0}}=\frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2/3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\, . \end{align}$$ El elemento de matriz reducida$\langle 2\Vert r\Vert 1\rangle$y el factor de dimensionalidad se cancela muy bien de la proporción y te queda una proporción de Clebsch.

Los operadores de escalera (al menos los de momento angular) no pueden conectar estados con diferentes$\ell$'s por lo que no puede usar esto para conectarse$\ell=2$estados y$\ell=1$estados El "escalonamiento" se realiza a través de la naturaleza tensorial de la$\{\hat x\pm i \hat y,\hat z\}$operadores: como componentes de un$L=1$tensor, su acción sobre$\ell$estados pueden conectar los estados iniciales de momento angular$\ell$a estados con$L'=\ell+1,\ell,\ell-1$a través de$\ell\otimes 1=\ell+1\oplus\ell\oplus \ell-1$.