Problemas para entender el ejercicio de Nielsen & Chuang

Probablemente estoy atascado en algo muy simple, pero tengo problemas para entender una premisa del Ejercicio 10.40 en Nielsen & Chuang. Los detalles completos del ejercicio no son importantes para mi pregunta. La parte relevante es esta:

Suponer$U$es un$n+1$puerta qubit en$N(G_{n+1})$tal que$U Z_1 U^\dagger = X_1 \otimes g$y$U X_1 U^\dagger = Z_1 \otimes g^\prime$para algunos$g, g^\prime \in G_n$. [Aquí,$G_n$es el grupo Pauli en$n$qubits y$N(G_n)$es el normalizador de este grupo.] Defina$U^\prime$en$n$qubits por$U^\prime |\psi\rangle := \sqrt{2}\langle 0 | U(| 0 \rangle \otimes | \psi \rangle )$.

Ahora, presumiblemente esto$U^\prime$operador es unitario, pero no puedo entender por qué esto es necesariamente cierto.