Restricción en los números cuánticos del momento angular orbital

Question

Restricción en los números cuánticos del momento angular orbital

Octavio

Mi objetivo es probar la restricción para el número cuántico del momento orbital $-\ell \leq m \leq \ell$ . Mi profesor me estaba dando la pista, que debería usar la norma del estado $|| L_+ |\ell,m\rangle ||$ con el vector de estado $|\ell, m\rangle$ .

Entonces, empiezo con la norma.

| | L_{+} | ℓ, metro ⟩ | |^{2} = ⟨ ℓ, metro | L_{-} L_{+} | ℓ, metro ⟩ \geq 0.

$|| L_+ |\ell,m\rangle ||^2 = \langle\ell,m| L_-L_+ |\ell,m\rangle \geq 0.$

En primer lugar, calculo el producto del operador:

L_{-} L_{+} = (L_{X} - i L_{y}) (L_{X} + i L_{y}) = L_{X}^{2} + L_{y}^{2} + i [L_{X}, L_{y}] = {\vec{L}}^{2} - L_{z}^{2} - ℏ L_{z} .

$L_-L_+ = (L_x - iL_y)(L_x + i L_y) = L_x^2 + L_y^2 + i[L_x, L_y] = \vec{L}^2 - L_z^2 - \hbar L_z.$

Usando los valores propios del operador, obtengo

| | L_{+} | ℓ, metro ⟩ | |^{2} = \underset{= 1}{\underset{⏟}{⟨ ℓ, metro | ℓ, metro ⟩}} ℏ^{2} (ℓ (ℓ + 1) - metro (metro + 1)) \geq 0.

$|| L_+ |\ell,m\rangle || ^2 = \underbrace{\langle\ell, m|\ell,m\rangle}_{=1} \, \hbar^2 \big( \ell(\ell+1) - m(m+1) \big) \geq 0.$

finalmente tengo

ℓ (ℓ + 1) \geq metro (metro + 1) .

$\ell(\ell + 1) \geq m(m+1).$

Calculando ahora la norma $|| L_- |\ell, m\rangle ||$ me lleva a una desigualdad similar:

ℓ (ℓ + 1) \geq metro (metro - 1) .

$\ell(\ell + 1) \geq m(m-1).$

Mi pregunta ahora es, ¿cómo se pasa de estas dos desigualdades a la restricción? $-\ell \leq m \leq \ell$ ?

G. Smith

Hay una notación estándar para kets y bras. ¿Por qué no usarlo?

Octavio

Probé \bra{.} y \ket{.} y no parecían funcionar, no conozco otro comando.

G. Smith

Puede usar \langle, \mid y \rangle.

biofísico

Usando | para \mid también funciona. También puede hacer \right > o \left <. Así que algunas opciones para ket de

ψ

$\psi$ . \mid\psi\rangleda

∣ ψ ⟩

$\mid\psi\rangle$ , \left|\psi\right>también da

| ψ ⟩

$\left|\psi\right>$ . Normalmente solo hago |\psi\rangle:

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

Respuestas (1)

Restricción en los números cuánticos del momento angular orbital

Hay una notación estándar para kets y bras. ¿Por qué no usarlo?
Probé \bra{.} y \ket{.} y no parecían funcionar, no conozco otro comando.
Usando | para \mid también funciona. También puede hacer \right > o \left <. Así que algunas opciones para ket de $\psi$ . \mid\psi\rangleda $\mid\psi\rangle$ , \left|\psi\right>también da $\left|\psi\right>$ . Normalmente solo hago |\psi\rangle: $|\psi\rangle$

AccidentalTaylorExpansion · Answer 1

Su desigualdad se puede leer como

F (ℓ) \geq F (metro)

$f(\ell)\geq f(m)$ dónde

f (x) = x (x + 1)

$f(x)=x(x+1)$ . Esto se puede reducir a

ℓ \geq m

$\ell\geq m$ aplicando

f^{- 1}

$f^{-1}$ a ambos lados. Pero hay una advertencia. Nuestra función

f

$f$ no es una inyección ya que varios valores de x pueden corresponder al mismo número. Esto significa que no podemos definir el inverso fácilmente y tenemos que hacer más trabajo.

Nuestra función es una parábola con un mínimo en $x=-1/2$ . Podemos hacer esta inversión un poco más fácil cambiando a este mínimo usando $\tilde \ell=\ell+1/2,\ \tilde m=m+1/2$ .

\begin{aligned} ℓ (ℓ + 1) & \geq metro (metro + 1) \\ (\tilde{ℓ} - 1 / 2) (\tilde{ℓ} + 1 / 2) & \geq (metro - 1 / 2) (metro + 1 / 2) \\ {\tilde{ℓ}}^{2} - 1 / 4 & \geq {\tilde{metro}}^{2} - 1 / 4 \\ {\tilde{ℓ}}^{2} & \geq {\tilde{metro}}^{2} \\ | \tilde{ℓ} | & \geq | \tilde{metro} | \end{aligned}

$\begin{align} \ell(\ell+1)&\ge m(m+1)\\ (\tilde \ell-1/2)(\tilde\ell+1/2)&\ge(m-1/2)(m+1/2)\\ \tilde\ell^2-1/4&\geq \tilde m^2-1/4\\ \tilde \ell^2&\geq \tilde m^2\\ |\tilde \ell|&\ge|\tilde m| \end{align}$ Esta última línea significa

- \tilde{ℓ} \leq \tilde{m} \leq \tilde{l} ⟹ - ℓ \leq m \leq ℓ

$-\tilde \ell\le\tilde m\leq\tilde l\implies-\ell\le m\le \ell$ donde supuse

ℓ

$\ell$ ser positivo.

Restricción en los números cuánticos del momento angular orbital

Octavio

G. Smith

Octavio

G. Smith

biofísico

Respuestas (1)

AccidentalTaylorExpansion

Octavio

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¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

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