Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

Question

Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

skdys

Tengo que resolver este simple problema:

Dejar $\hat{A}$ y $\hat{B}$ Sean dos operadores hermitianos tales que:
$⟨ ψ | \hat{A} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | \hat{B} | ψ ⟩ \forall | ψ ⟩$ $\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle \qquad \forall |\psi\rangle$

Pruebalo
$\hat{A} = \hat{B} .$ $\hat{A} = \hat{B}.$ Pista: ampliar $|\psi\rangle$ en alguna base adecuada.

He intentado ingenuamente:

⟨ ψ | \hat{A} - \hat{B} | ψ ⟩ = 0 \forall | ψ ⟩

$\langle\psi|\hat{A}-\hat{B}|\psi\rangle = 0 \qquad \forall |\psi\rangle$

Por lo tanto $\hat{A}-\hat{B}=0$ exactamente.

Pero esto parece funcionar siempre con operadores no hermitianos. ¿Me equivoco?

biofísico

Creo que el punto es mostrar por qué

⟨ ψ | \hat{A} - \hat{B} | ψ ⟩ = 0

$\langle \psi | \hat A -\hat B |\psi \rangle=0$ significa que

\hat{A} - \hat{B} = 0

$\hat A-\hat B=0$

Respuestas (1)

Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

Creo que el punto es mostrar por qué $\langle \psi | \hat A -\hat B |\psi \rangle=0$ significa que $\hat A-\hat B=0$

qmecanico · Answer 1

Sí, OP tiene razón: se cumple para operadores no necesariamente autoadjuntos $^1$ .

Prueba esbozada:

restando $\hat{B}$ de ambos operadores (y renombrando), podemos asumir wlog que $\hat{B}=\hat{0}$ .
Volver a escribir $\hat{A}=\hat{A}_1+i\hat{A}_2$ , dónde $\hat{A}_1=\frac{\hat{A}+\hat{A}^{\dagger}}{2}$ y $\hat{A}_2=\frac{\hat{A}-\hat{A}^{\dagger}}{2i}$ son operadores autoadjuntos.
Usa el truco de la polarización para demostrar que
$\begin{aligned} \forall | ϕ ⟩, | ψ ⟩ \in H : 0 = & ⟨ ϕ + ψ | \hat{A} | ϕ + ψ ⟩ \\ - ⟨ ϕ | \hat{A} | ϕ ⟩ - ⟨ ψ | \hat{A} | ψ ⟩ \\ = & ⟨ ϕ | \hat{A} | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \hat{A} | ϕ ⟩ \\ = & 2 R mi ⟨ ϕ | {\hat{A}}_{1} | ψ ⟩ \\ + 2 i R mi ⟨ ϕ | {\hat{A}}_{2} | ψ ⟩ . \end{aligned}$ $\begin{align} \forall | \phi\rangle, | \psi\rangle\in {\cal H}:~~ 0~=~&\langle \phi+\psi | \hat{A} |\phi+ \psi\rangle\cr &-\langle \phi | \hat{A} | \phi\rangle -\langle \psi | \hat{A} | \psi\rangle \cr ~=~&\langle \phi | \hat{A} | \psi\rangle +\langle \psi | \hat{A} | \phi\rangle\cr ~=~&2{\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_1 | \psi\rangle\cr &+2i{\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_2 | \psi\rangle.\end{align}$
Deducir que
$\forall | ϕ ⟩, | ψ ⟩ \in H : R mi ⟨ ϕ | {\hat{A}}_{1} | ψ ⟩ = 0 = R mi ⟨ ϕ | {\hat{A}}_{2} | ψ ⟩ .$ $\forall | \phi\rangle, | \psi\rangle\in {\cal H}:~~ {\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_1 | \psi\rangle ~=~0~=~{\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_2 | \psi\rangle.$
Deducir que
$\forall | ϕ ⟩, | ψ ⟩ \in H : ⟨ ϕ | {\hat{A}}_{1} | ψ ⟩ = 0 = ⟨ ϕ | {\hat{A}}_{2} | ψ ⟩ .$ $\forall | \phi\rangle, | \psi\rangle\in {\cal H}:~~ \langle \phi | \hat{A}_1 | \psi\rangle ~=~0~=~\langle \phi | \hat{A}_2 | \psi\rangle.$
Concluye esto $\hat{A}=\hat{0}$ . $\Box$

$^{1}$ Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta.

¿Por qué usas dos vectores? $|\phi\rangle$ y $| \psi\rangle$ ? La pregunta original asume el mismo vector en ambos lados. $\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = 0$
@skdys $| \phi \rangle$ y $| \psi \rangle$ ambos representan cualquier elemento en el espacio, por lo que $| \phi \rangle=| \psi \rangle$ es un caso más específico de esta demostración.

Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

skdys

biofísico

Respuestas (1)

qmecanico

skdys

biofísico

Nuestro

Conjugado hermitiano del operador diferencial

Valores esperados de los operadores LxLxL_x y LyLyL_y en LzLzL_z-eigenstates

Problemas para entender el ejercicio de Nielsen & Chuang

Conmutador de posición y momento

Encontrar T†T†T^\daga donde Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

El adjunto del adjunto de un operador

Operador de posición en el espacio de momento

¿Existe una forma sencilla de encontrar los estados propios del operador de creación y aniquilación en QM?

Problema sobre el momento angular en la mecánica cuántica

¿Cómo utilizar los operadores de escalera?

Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} ​​= \hat{ B}?

skdys

biofísico

Respuestas (1)

qmecanico

skdys

biofísico

Nuestro

Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?