Transformación a un marco giratorio en la base xxx

Question

Transformación a un marco giratorio en la base xxx

Rajath Radhakrishnan

Estaba leyendo este artículo sobre sistemas cuánticos de dos niveles dependientes del tiempo impulsados por soluciones analíticas. El hamiltoniano considerado en el trabajo es el siguiente:

H = σ_{z} \cdot j (t) / 2) + σ_{X} \cdot h / 2

$H=\sigma_z\cdot J(t)/2)+\sigma_x\cdot h/2$

$U$ es el operador de evolución unitaria con elementos $u_{ij}$ (Ecuación (2) en el documento). Se da que después de transformar a una rotación en base x se obtiene la siguiente ecuación (ecuación (3) en el artículo):

D_{+} = {mi}^{+ i \cdot h \cdot t / 2} ({tu}_{11} + {tu}_{21}) \cdot 1 / \sqrt{(} 2)

$D_+=e^{+i\cdot h\cdot t/2}(u_{11}+u_{21})\cdot 1/\sqrt(2)$ y

D_{-} = {mi}^{- i \cdot h \cdot t / 2} ({tu}_{11} - {tu}_{21}) \cdot 1 / \sqrt{(} 2)

$D_-=e^{-i\cdot h\cdot t/2}(u_{11}-u_{21})\cdot 1/\sqrt(2)$

Qué son éstos $D_+$ y $D_-$ ? Sé que la forma general del operador de rotación (que a menudo también se denota por $D$ ) para el sistema de espín está dada por:

D (\hat{norte}, θ) = {mi}^{- i θ \hat{norte} \cdot \vec{S}}

$D(\hat n,\theta)=\mathrm e^{-i\theta\ \hat{n}\cdot\vec S}$ y cuando calculé la rotación sobre el eje x, obtuve que el operador de rotación fuera:

D (\hat{norte}, θ) = [\begin{array}{cc} porque (θ / 2) & - i pecado (θ / 2) \\ - i pecado (θ / 2) & porque (θ / 2) \end{array}]

$D(\hat n,\theta)=\left[ {\begin{array}{cc} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \ \end{array} } \right]$

¿Cuáles son los $D$ s obtenido al transformarse en un marco giratorio en la imagen adjunta? ¿Estoy haciendo algo mal aquí?

La terminología también es bastante confusa para mí. ¿Por qué se llama marco "giratorio" en lugar de marco rotado por $\theta$ ? Pero eso tampoco tiene sentido porque en el documento original no hay $\theta$ ? Entonces, ¿qué quieren decir con "girar"?

Rajath Radhakrishnan

Actualización: El siguiente enlace da una muy buena cuenta del método de rotación de marcos. journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.26.167

Respuestas (1)

Transformación a un marco giratorio en la base xxx

Actualización: El siguiente enlace da una muy buena cuenta del método de rotación de marcos. journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.26.167

udv · Answer 1

Si $|\pm\rangle$ son los vectores propios de ${\hat \sigma}_x$ , ${\hat \sigma}_x |\pm\rangle = \pm |\pm\rangle$ , entonces una rotación $x$ -base se define como

| + ⟩ (t) = Exp (- i \frac{ω t}{2} {\hat{σ}}_{X}) | + ⟩ = {mi}^{- i ω t / 2} | + ⟩

$|+\rangle(t) = \exp\left(-i\frac{\omega t}{2} {\hat \sigma}_x\right)|+\rangle = e^{-i\omega t/2 } |+\rangle$

| - ⟩ (t) = Exp (- i \frac{ω t}{2} {\hat{σ}}_{X}) | - ⟩ = {mi}^{i ω t / 2} | - ⟩

$|-\rangle(t) = \exp\left(-i\frac{\omega t}{2} {\hat \sigma}_x\right)|-\rangle = e^{i\omega t/2 }|-\rangle$ Nótese que sigue siendo una base propia de

{\hat{σ}}_{x}

${\hat \sigma}_x$ ,

{\hat{σ}}_{x} | \pm ⟩ (t) = \pm | \pm ⟩ (t)

${\hat \sigma}_x |\pm\rangle(t) = \pm |\pm\rangle(t)$ . Compruebe por qué se le conoce como una base rotatoria observando la transformación entre

| \pm ⟩ (t)

$|\pm\rangle(t)$ y

| ↑ ⟩

$|\uparrow\rangle$ ,

| ↓ ⟩

$|\downarrow\rangle$ .

En el presente caso tomar $\omega = h$ y deja $d_\pm(t)$ ser los coeficientes de expansión del vector de estado en la base rotatoria, es decir,

| ψ (t) ⟩ = d_{+} (t) | + ⟩ (t) + d_{-} (t) | - ⟩ (t)

$|\psi(t)\rangle = d_+(t) |+\rangle(t) + d_-(t)|-\rangle(t)$ Desde

{\hat{σ}}_{z} | \pm ⟩ (t) = e^{\mp i h t / 2} | \mp ⟩

${\hat \sigma}_z |\pm\rangle(t) = e^{\mp i ht/2} |\mp \rangle$ , la ecuación de Schroedinger produce

i \frac{d | ψ ⟩}{d t} = i {\dot{d}}_{+} | + ⟩ (t) + i d_{+} (t) \frac{d}{d t} | + ⟩ (t) + i {\dot{d}}_{-} (t) | - ⟩ (t) + i d_{-} (t) \frac{d}{d t} | - ⟩ (t) =

$i \frac{d|\psi\rangle}{dt} = i {\dot d}_+ |+\rangle(t) + i d_+(t) \frac{d}{dt} |+\rangle(t) + i {\dot d}_-(t) |-\rangle(t) + i d_-(t) \frac{d}{dt} |-\rangle(t) =$

= i {\dot{d}}_{+} | + ⟩ (t) + \frac{h}{2} d_{+} (t) | + ⟩ (t) + i {\dot{d}}_{-} (t) | - ⟩ (t) - \frac{h}{2} d_{-} (t) | - ⟩ (t) =

$= i {\dot d}_+ |+\rangle(t) + \frac{h}{2} d_+(t) |+\rangle(t) + i {\dot d}_-(t) |-\rangle(t) - \frac{h}{2} d_-(t) |-\rangle(t) =$

[\frac{j (t)}{2} d_{-} (t) {mi}^{i h t} + \frac{h}{2} d_{+} (t)] | + ⟩ (t) + [\frac{j (t)}{2} d_{+} (t) {mi}^{- i h t} - \frac{h}{2} d_{-} (t)] | - ⟩ (t)

$\left[ \frac{J(t)}{2} d_-(t)e^{iht} + \frac{h}{2}d_+(t)\right] |+\rangle(t) + \left[ \frac{J(t)}{2} d_+(t)e^{-iht} - \frac{h}{2}d_-(t)\right] |-\rangle(t)$ de donde después de la simplificación e identificación se sigue

{\dot{d}}_{\pm} (t) = - i \frac{j (t)}{2} {mi}^{\pm i h t} d_{\mp} (t)

${\dot d}_\pm(t) = - i \frac{J(t)}{2}e^{\pm iht} d_\mp(t)$ Esto se parece mucho a la ecuación (4) en el documento, pero los coeficientes

d_{\pm} (t)

$d_\pm(t)$ aún no están relacionados con los elementos de la matriz

u_{11}

$u_{11}$ y

u_{21}

$u_{21}$ del operador de evolución

\hat{U}

${\hat U}$ , como lo exige la ecuación (3). Para obtener esta última, y con ella el significado de las funciones

D_{\pm} (t)

$D_\pm(t)$ , veamos la expresión alternativa para

| ψ (t) ⟩

$|\psi(t)\rangle$ obtenido aplicando

\hat{U} (t)

${\hat U}(t)$ al vector de estado inicial en la base z,

| ψ (0) ⟩ = c_{1} (0) | ↑ ⟩ + c_{2} (0) | ↓ ⟩

$|\psi(0) \rangle = c_1(0)|\uparrow\rangle + c_2(0)|\downarrow\rangle$ :

| ψ (t) ⟩ = \hat{tu} (t) | ψ (0) ⟩ = C_{1} (0) \hat{tu} (t) | ↑ ⟩ + C_{2} (0) \hat{tu} (t) | ↓ ⟩ =

$|\psi(t)\rangle = {\hat U}(t)|\psi(0) \rangle = c_1(0) {\hat U}(t)|\uparrow\rangle + c_2(0) {\hat U}(t)|\downarrow\rangle =$

= [{tu}_{11} (t) C_{1} (0) - {tu}_{21}^{*} (t) C_{2} (0)] | ↑ ⟩ + [{tu}_{21} (t) C_{1} (0) + {tu}_{11}^{*} (t) C_{2} (0)] | ↓ ⟩

$= \left[ u_{11}(t)c_1(0) - u^*_{21}(t) c_2(0)\right] |\uparrow\rangle + \left[ u_{21}(t) c_1(0) + u^*_{11}(t)c_2(0)\right]|\downarrow\rangle$ Si cambiamos ahora a la base x y luego a la base x giratoria, se lee

| ψ (t) ⟩ = [{tu}_{11} (t) C_{1} (0) - {tu}_{21}^{*} (t) C_{2} (0)] \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ + | - ⟩) + [{tu}_{21} (t) C_{1} (0) + {tu}_{11}^{*} (t) C_{2} (0)] \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ - | - ⟩) =

$|\psi(t)\rangle = \left[ u_{11}(t)c_1(0) - u^*_{21}(t) c_2(0)\right] \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) + \left[ u_{21}(t) c_1(0) + u^*_{11}(t)c_2(0)\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) =$

= [[\frac{1}{\sqrt{2}} ({tu}_{11} + {tu}_{21}) {mi}^{i h t / 2}] C_{1} (0) + {[\frac{1}{\sqrt{2}} ({tu}_{11} - {tu}_{21}) {mi}^{- i h t / 2}]}^{*} C_{2} (0)] | + ⟩ (t) +

$= \left[ \left[\frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} + u_{21} \right) e^{iht/2}\right] c_1(0) + \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} - u_{21} \right) e^{-iht/2}\right]^* c_2(0)\right] |+\rangle(t) +$

+ [[\frac{1}{\sqrt{2}} ({tu}_{11} - {tu}_{21}) {mi}^{- i h t / 2}] C_{1} (0) - {[\frac{1}{\sqrt{2}} ({tu}_{11} + {tu}_{21}) {mi}^{i h t / 2}]}^{*} C_{2} (0)] | - ⟩ (t) =

$+ \left[ \left[\frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} - u_{21} \right) e^{-iht/2}\right] c_1(0) - \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} + u_{21} \right) e^{iht/2}\right]^* c_2(0)\right] |-\rangle(t) =$

= [D_{+} (t) C_{1} (0) + D_{-}^{*} (t) C_{2} (0)] | + ⟩ (t) + [D_{-} (t) C_{1} (0) - D_{+}^{*} (t) C_{2} (0)] | - ⟩ (t)

$= \left[ D_+(t) c_1(0) + D^*_-(t) c_2(0)\right] |+\rangle(t) + \left[ D_-(t) c_1(0) - D^*_+(t) c_2(0)\right] |-\rangle(t)$ En otras palabras, las funciones

D_{\pm} (t)

$D_\pm(t)$ simplemente proporcione una reparametrización conveniente de la evolución en la base x rotativa.

Dejo como ejercicio derivar la ecuación (4) de la identificación

d_{\pm} (t) = D_{\pm} (t) C_{1} (0) \pm D_{\mp}^{*} (t) C_{2} (0)

$d_\pm(t) = D_\pm(t) c_1(0) \pm D^*_\mp(t) c_2(0)$

(Pista: coeficientes $c_1(0)$ , $c_2(0)$ son arbitrarios).

Gracias por esta extensa respuesta sobre este método. No me he encontrado con este proceso de transformación a un marco giratorio en ninguno de los libros de texto estándar de QM u otra literatura. Aunque su respuesta explica todo, tengo curiosidad por saber dónde encontró este método.
Bienvenido. La aproximación del marco giratorio surge mucho en modelos de dos niveles, en muchas versiones, por analogía con la precesión de spin-1/2 Larmor en campos magnéticos. Se usa mucho en RMN y, en general, con espines impulsados electromagnéticamente, átomos de dos niveles, etc. Probablemente pueda encontrar algo al respecto en los libros de Óptica Cuántica, pero para una idea rápida, eche un vistazo a las Notas complementarias de lanl.arxiv .org/pdf/1508.06436v1 , debe desplazarse hasta más allá de las figuras hasta la ecuación (S1).
Por cierto, aquí hay otro enfoque interesante de soluciones generales para el tipo de problema de dos niveles que está considerando: arxiv.org/pdf/quant-ph/0205170v1.pdf
En esta transformación solo hemos agregado un factor de fase dependiente del tiempo. Por lo tanto, las probabilidades permanecen sin cambios. En lugar de ser una buena transformación matemática, ¿cuál es el significado físico de esta transformación en un marco giratorio?
Tenga en cuenta que los factores de fase dependientes del tiempo son diferentes para los dos vectores propios de $\sigma_x$ . la transformación es $\exp[-i(\omega t/2){\hat \sigma}_x]$ , que equivale a una rotación de ángulo $\omega t$ alrededor de $x$ -eje. De donde se llama una transformación de "marco giratorio".
Pero, sigue siendo una forma matemática de decir las cosas, ¿no? Quiero decir, ¿cómo se logra este tipo de rotación en un experimento real?
Mayormente sí. A menos que el modelo de dos niveles corresponda a una partícula física de espín-1/2, esta es una rotación formal que implementa una transformación canónica del problema a una forma matemáticamente más conveniente. Por ejemplo, si el sistema es un átomo de dos niveles, el ${\hat \sigma}$ los operadores se definen en términos de proyectores y operadores de transición para los dos niveles de energía que definen el sistema. En este caso, la "rotación" es estrictamente formal, una transformación canónica dependiente del tiempo sin equivalente como una rotación física. El término "marco giratorio" simplemente se transmite por analogía.
Sin embargo, si el sistema de dos niveles es un spin-1/2 real, el ${\hat \sigma}$ -s son observables físicos de espín asociados con direcciones físicas. En este caso, puede visualizar el "marco giratorio" experimentando una rotación a una velocidad $\omega$ alrededor de $x$ -eje en el espacio físico, manteniendo un giro giratorio (precesión de Larmor). Un ejemplo típico que podría asignarse fácilmente a su problema es un giro 1/2 en un campo magnético dependiente del tiempo, como en RMN, etc.
Ohh... ahora las cosas están claras para mí. Gracias por tomarse el tiempo para responder a mis preguntas.

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Rajath Radhakrishnan

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Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

¿Podemos probar esto sin un cálculo explícito?

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