¿Uso extraño del análisis complejo en Weinberg QFT 1?

Al comienzo del capítulo 3 sobre la teoría de la dispersión en el libro QFT de Weinberg, hay un uso del teorema residual de Cauchy que simplemente no puedo entender.

Primero algo de notación, estamos viendo estados que efectivamente no interactúan y se consideran un producto directo de estados de una partícula descritos por sus momentos. pag i y un montón de índices (posiblemente discretos) norte i . Para simplificar la notación, la suma de todos los índices y la integral de todos los momentos se escriben:

(3.1.4) ∫   d α …   ≡ ∑ norte 1 σ 1 norte 2 σ 2 ⋯ ∫   d 3 pag 1   d 3 pag 2 …

La energía de tal estado α se denota mi α y es la suma de las energías de 1 partícula correspondientes a los momentos:

(3.1.7) mi α = pag 1 0 + pag 2 0 + …
Ahora en el libro estamos viendo algunas integrales que se ven así:

(3.1.21b) ∫   d α   mi − i mi α t gramo ( α ) T β α mi α − mi β ± i ϵ

gramo ( α ) es una función suave que es distinta de cero en un rango finito Δ mi de energías T β α probablemente también se puede suponer que es suave.

Ahora el autor extiende la integral a un semicírculo en el semiplano superior de las energías, usa el teorema residual de Cauchy y toma t → − ∞ para obtener el resultado 0. Mis problemas son:

  1. La integral no es en realidad sobre las energías, sino sobre los momentos. La energía es una función de los momentos, por lo que estoy seguro de que podemos hacer algún tipo de sustitución para obtener una integral sobre la energía, pero esta integral no se terminará. R ya que la energía de cada partícula es positiva. Entonces no podemos cerrar un semicírculo.
  2. Para usar el teorema de Cauchy gramo ( α ) T β α debe ser analítico después de hacer todas las integrales excepto la integral de energía, pero si al mismo tiempo gramo ( α ) se supone que es cero fuera de un rango finito de energías, esto no es posible.

Respuestas (1)

Heurísticamente, un enfoque para justificar la aplicación de Weinberg de la fórmula de Cauchy es tratar el integrando no analítico como el comportamiento límite de una función meromórfica (algo así como la serie de Fourier):

  1. realice todas las integraciones internas hasta que quede con una integral sobre la energía,
  2. resuelva las ecuaciones de Cauchy-Riemann dentro del semiplano superior (posiblemente con un conjunto singular eliminado), con el integrando como condición de contorno en la línea real,
  3. aproximar la integral original usando la solución recién obtenida (por ejemplo, en un contorno cercano dentro del dominio de analiticidad),
  4. estimar la aproximación usando la fórmula del residuo.

Por supuesto, sería un milagro si todos estos pasos pudieran llevarse a cabo sin errores. Afortunadamente, es fácil asegurarse de que estos errores decaen en el gran t límite: en la integral

I = ∫   d mi   mi − i mi t F ( mi ) mi − mi β ± i ϵ ,
el peor comportamiento está cerca mi = mi β . Podemos eliminar esto simplemente separando I en dos partes:
I ± ′ = F ( mi β ) ∫   d mi   mi − i mi t mi − mi β ± i ϵ , I ± registro ≡ I − I ± ′ .
La fórmula integral de Cauchy se puede aplicar para mostrar I ± ′ desaparece cuando t → ∓ ∞ , mientras I ± registro decae a cero como | t | → ∞ por los argumentos usuales del lema de Riemann-Lebesgue cuando F ( mi ) es suficientemente 'agradable'. Desde | I | ≤ | I registro | + | I ′ | , resulta que I ± desaparece (con la elección apropiada de ± ϵ .)

¿Entiendo correctamente, que la idea al principio es aproximar la función suave, pero no analítica en el integrando por una función meromórfica, hacer la rutina habitual de análisis complejo y luego tomar un límite? También creo que mi primer problema no es realmente un problema y solo es el resultado de que no entendí bien el texto, imagino que se supone que el semicírculo no tiene "límite R " (en el límite), pero límite "dondequiera que comiencen las energías hasta el infinito".
En realidad, supongo que las funciones que se aproximan a la suave solo necesitan ser analíticas por partes en el eje real, ya que en este caso puedes reemplazar la integral sobre una función analítica en C con un semicírculo a una integral con un semicírculo y muchas integrales sobre los bordes de "medio anillo", ya que todas las partes del semiplano superior integral desaparecerán como t → ∞ .
¿Uso extraño del análisis complejo en Weinberg QFT 1?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v