Creo que lo resolví; desafortunadamente no tengo tiempo para hacer todas las manipulaciones después de calcular la integral.
Cambiemos a coordenadas esféricas
I= − π(pag⃗ metro⋅pag⃗ norte) ∫re qd ϕ pecado( ϕ ) re θ1q1(minorte−pagnorteporque( ϕ ) ) (mimetro−pagmetroporque( ϕ ) )
Resulta que:
I= − π(pag⃗ metro⋅pag⃗ norte) en(Λλ) 2π∫π0d ϕpecado( ϕ )(minorte−pagnorteporque( ϕ ) ) (mimetro−pagmetroporque( ϕ ) )
Ahora, cambiemos las variables.
x = porque( ϕ )d x = − pecado( ϕ ) re ϕ
entonces tenemos
I= − 2π2(pag⃗ metro⋅pag⃗ norte) en(Λλ)∫1− 1d x1(minorte−pagnortex ) (mimetro−pagmetrox )
Ahora, tenemos que hacer el siguiente paso:
A(minorte−pagnortex )+B(mimetro−pagmetrox )
encuentras eso
un =−pagnorteminortepagmetro−mimetropagnorteB =pagmetrominortepagmetro−mimetropagnorte
Entonces, es fácil ver que
I= 2π2(pag⃗ metro⋅pag⃗ norte) en(Λλ)[Apagnorteen(minorte−pagnortex ) +Bpagmetroen(mimetro−pagmetroX ) ]1− 1
haciendo
A
y
B
explícito obtenemos:
I= 2π2(pag⃗ metro⋅pag⃗ norte)minortepagmetro−minortepagnorteen(Λλ)[ - en(minorte−pagnortex ) + ln(mimetro−pagmetroX ) ]1− 1
por lo tanto
I= 2π2(pag⃗ metro⋅pag⃗ norte)minortepagmetro−minortepagnorteen(Λλ) [ en(mimetro−pagmetrominorte−pagnorte) +ln(minorte+pagnortemimetro+pagmetro) ]
y luego solo debería estar reorganizando los factores de una manera conveniente. ¡Espero que haya ayudado!
lux