Integral de propagador de Klein-Gordon

DESCARGO DE RESPONSABILIDAD: edité la pregunta para incluir las integrales y la imagen

Estoy estudiando el campo de Klein-Gordon en Peskin & Schroeder Una introducción a la teoría cuántica de campos Hay una integral que no veo, relacionada con el cálculo de los propagadores, en particular para el campo KG. Me refiero a dos pasos.

$$\langle 0| [\phi(x),\phi(y)] 0\rangle=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p}(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)}).\tag{2.54}$$

Ahora esa integral se escribe como

$$\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left\{ \frac{1}{2E_p}e^{-ip\cdot(x-y)}\bigg|_{p_0=E_p}+\frac{1}{-2E_p}e^{-ip\cdot(x-y)}\bigg|_{p_0=-E_p}\right\}$$

Pregunta 1) ¿Cómo se puede fijar el valor de$p_0$ser$\pm E_p$? ¿Es solo notación?

Ahora dice que se puede escribir como un$p_0$integral en el siguiente contorno

Si$x^0>y^0$entonces

$$\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2}e^{-ip\cdot(x-y)}$$

y el contorno se cierra por debajo. Si$x^0<y^0$el contorno se cierra arriba, dando 0 (esto lo puedo ver)

Pregunta 2) ¿Por qué esa elección particular de contornos cerrados?

Cuando tuve que hacer cualquier teorema de integral con residuos, por lo general son integrales sobre$\mathbb{R}$de modo que el contorno de integración en el plano complejo es exactamente un semicírculo de radio$R$con$R\to \infty$. Ahora bien, este no es el caso, porque el contorno no pasa por toda la línea real.

Pregunta 3) Los semicírculos centrados en$\pm E_p$afectar el$p_0$¿integración?