¿Los operadores de onda de Møller Ω±Ω±\Omega_\pm están relacionados con limt→∞U(t)limt→∞U(t)\lim_{t\rightarrow\infty}U(t) de la teoría de campos?

Question

¿Los operadores de onda de Møller Ω±Ω±\Omega_\pm están relacionados con limt→∞U(t)limt→∞U(t)\lim_{t\rightarrow\infty}U(t) de la teoría de campos?

Punto cuántico

Cuando queremos calcular funciones de correlación $\langle\Omega|\,T\hat{\phi}(x_1)\ldots|\Omega\rangle$ en una teoría cuántica de campos interactivos, la relacionamos con los objetos de campo libre $|0\rangle$ y $\hat\phi_I(x)$ utilizando el operador de evolución temporal de la imagen de interacción en el límite $T\rightarrow\infty$ .

Eventualmente, llegamos a una expresión como (ver Peskin y Schroeder eqn. 4.30)

⟨ Ω | T \hat{ϕ} (X) \hat{ϕ} (y) | Ω ⟩ = \underset{T \to \infty}{límite} norte ⟨ 0 | tu (T, t_{X}) ϕ_{I} (X) tu (t_{X}, t_{y}) ϕ_{I} (y) tu (t_{y}, - T) | 0 ⟩ .

$\langle\Omega|\,T\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)|\Omega\rangle=\lim_{T\rightarrow\infty}\mathcal{N}\langle 0|U(T,t_x)\phi_I(x)U(t_x,t_y)\phi_I(y)U(t_y,-T)|0\rangle.$

El $U(T,t_x)$ y $U(t_y,-T)$ sentado al final del correlador se parece mucho a los operadores de onda de Møller de la teoría de dispersión no relativista

Ω_{\pm} = \underset{t \to \mp \infty}{límite} tu (t)_{lleno} {tu}_{0} (t),

$\Omega_\pm=\lim_{t\rightarrow\mp\infty}U(t)_\text{full}U_0(t),$ que relacionan los estados de asíntota de entrada y asíntota de salida con el estado real en

t = 0

$t=0$ .

Entonces mi pregunta es, ¿son estos dos como la misma cosa, con las mismas propiedades? es decir , son isométricos, etc.

Respuestas (1)

¿Los operadores de onda de Møller Ω±Ω±\Omega_\pm están relacionados con limt→∞U(t)limt→∞U(t)\lim_{t\rightarrow\infty}U(t) de la teoría de campos?

Urgje · Answer 1

La expresión no relativista para los operadores de onda.

Ω_{\pm} = \underset{t \to \mp \infty}{límite} tu (t)_{lleno} tu_{0} (t),

$Ω_±=\lim_{{t→∓∞}}U(t)_\text{full}U{_{0}}(t),$

necesita revisión en situaciones de teoría de campos ya que normalmente los campos libres e interactivos actúan en diferentes espacios de Hilbert. Un ejemplo temprano se da en

"Condiciones asintóticas y divergencias infrarrojas en electrodinámica cuántica", PP Kulish y LD Faddeev. Física Teórica y Matemática 1970, Volumen 4, Número 2, pp 745-757. .

Por lo tanto, espero que no haya una respuesta simple a esta pregunta.

¡Respuesta muy útil! Entonces, ¿tengo razón al decir que los dos operadores son análogos, pero el relativista requiere revisión?
Desde un punto de vista matemático, hay dos cosas que deben probarse para una situación dada. El primero es (obviamente) la existencia de los operadores de onda y el segundo es la completitud, que es necesaria para la unitaridad del S-operador asociado. El segundo es un asunto bastante no trivial. En una situación teórica de campo, ya es difícil obtener un ajuste matemático correcto (divergencias, renormalización) para empezar.

¿Los operadores de onda de Møller Ω±Ω±\Omega_\pm están relacionados con limt→∞U(t)limt→∞U(t)\lim_{t\rightarrow\infty}U(t) de la teoría de campos?

Punto cuántico

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