¿Cuál es el sentido de introducir generadores funcionales a los sumandos de expansión de S-matrix?

La principal utilidad de la introducción del funcional generador es su uso para calcular funciones de correlación de la teoría cuántica de campos dada.

Restrinjamos la discusión a la de una teoría de un solo campo escalar real en el espacio de Minkowski, y dejemos$x_1, \dots, x_n$denotan puntos de espacio-tiempo. De importancia central son los valores esperados de vacío ordenados por tiempo de los operadores de campo evaluados en tales puntos;

$$\begin{align} \langle0|T[\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)]|0\rangle. \end{align}$$ Se puede demostrar que estos objetos se pueden obtener a partir de la funcional generatriz tomando derivadas funcionales con respecto a la $J(x_i)$como sigue: $$\begin{align} \langle0|T[\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)]|0\rangle = \frac{1}{Z[0]}\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)\cdots \left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_n)}\right)Z[J]\Bigg|_{J=0}. \end{align}$$ Este hecho estándar se demuestra en muchos libros sobre QFT. A menudo se prueba utilizando el enfoque integral de ruta, lo que hace que sea bastante transparente por qué es cierto. El quid del argumento es que cada vez que tomas una derivada funcional con respecto a la fuente $J(x_i)$, tira hacia abajo un factor del campo $\phi(x_i)$. dividiendo por $Z[0]$es una normalización importante relacionada con las burbujas de vacío y el establecimiento $J=0$después de calcular las derivadas funcionales apropiadas elimina los términos con más de $n$factores del campo y hace que el resultado final sea independiente de la fuente como debería ser.