Matriz S en Weinberg QFT

Permítanme aclarar la confusión con respecto a la imagen de Heisenberg y la evolución del tiempo. En la imagen de Schrödinger, los estados evolucionan con respecto al tiempo. Pero en la imagen de Heisenberg, los estados no evolucionan con respecto al tiempo. En un sistema de coordenadas$(t,x^i)$, tu eliges digamos el estado$|\psi(t=0)\rangle$en la imagen de Schrödinger como tu estado$|\psi\rangle$en el cuadro de Heisenberg. Pero en otro sistema de coordenadas$(x^{i},t^\prime=t+\tau)$tienes el estado$|\psi(t^\prime=0)\rangle=|\psi(t=-\tau)\rangle$como el estado en la imagen de Heisenberg. es decir, en la imagen de Heisenberg, en un cuadro el estado es$|\psi\rangle=|\psi(t=0)\rangle$, en un marco traducido en el tiempo con$t^\prime=t+\tau$, el estado es$|\psi^\prime\rangle=|\psi(t=-\tau)\rangle$. Por lo tanto, si aplicamos un operador de "traducción temporal" en un estado de la imagen de Heisenberg que va de un cuadro a otro, es equivalente a hacer una evolución temporal en la imagen de Schrödinger en un cuadro dado. Weinberg menciona claramente que está haciendo una traducción del tiempo y no una evolución del tiempo.

Una oración muy importante se puede encontrar en la sección 3.1. Aproximadamente dice "para preservar la invariancia manifiesta de Lorentz, los vectores de estado no cambian con el tiempo, sino que describen toda la historia del espacio-tiempo del sistema". En la mecánica cuántica de Shrodinger habitual, tiene un ket dependiente del tiempo$| \psi (t) \rangle$y el operador de evolución temporal que actúa como$e^{-i(t-t_0)H} | \psi (t_0) \rangle = | \psi (t) \rangle.$En este enfoque$| \psi \rangle$no tiene$t$etiqueta en absoluto y$e^{itH}$no debe interpretarse como operador de evolución temporal sino como traducción temporal. En lugar de tomar como estado de entrada un tiempo fijo y devolver el estado en otro momento, actúa sobre una historia posible del sistema produciendo otra historia posible donde todo se desplaza en el tiempo.

En los estados están aquellas historias que en un pasado lejano coinciden con los estados libres. Entonces, si cambia el tiempo tanto en el estado como en el estado libre hacia el futuro en una cantidad infinita, deberían volverse iguales.

En cuanto a la pregunta sobre el dominio de definición de$S$-matriz. Es cierto que la relación fundamental

Lo descubrí yo mismo anoche. Creo que esto lo resuelve, ¡pero también me encantaría escuchar el punto de vista de otras personas!

Supongamos que tenemos estados representados por paquetes de ondas

$|\Phi_g\rangle=\int d\alpha g(\alpha) |\Phi_\alpha\rangle$y$|\Psi^{\pm}_g\rangle=\int d\alpha g(\alpha) |\Psi^{\pm}_\alpha\rangle$

Entonces considera$\langle \Phi_g|S|\Phi_g\rangle$lo cual tiene sentido ya que la acción de$S$está en paquetes de ondas.

Expansión de los estados;$\langle \Phi_g|S|\Phi_g\rangle=\int d\beta d\alpha g^*(\beta) g(\alpha) \langle\Phi_\beta|S|\Phi_\alpha\rangle$

Pero de la relación

$\int d\alpha g(\alpha) |\Psi_\alpha^\pm\rangle =\Omega(\mp\infty)\int d\alpha g(\alpha) |\Phi_\alpha\rangle$

también tenemos

$\langle \Phi_g|S|\Phi_g\rangle=\langle \Phi_g|\Omega^\dagger(\infty)\Omega(-\infty)|\Phi_g\rangle=\int d\beta d\alpha g^*(\beta) g(\alpha) \langle\Psi_\beta^{-}|\Psi_\alpha^+\rangle$

Igualando, tenemos$\int d\beta d\alpha g^*(\beta) g(\alpha) \langle\Phi_\beta|S|\Phi_\alpha\rangle= \int d\beta d\alpha g^*(\beta) g(\alpha) \langle\Psi_\beta^{-}|\Psi_\alpha^+\rangle$

Dado que esto debe ser cierto para todas las funciones suaves$g$sobre el rango apropiado, tenemos

$\langle\Phi_\beta|S|\Phi_\alpha\rangle=\langle\Psi_\beta^{-}|\Psi_\alpha^+\rangle=S_{\beta\alpha}$