Integral en Peskin y Schroeder

Question

Integral en Peskin y Schroeder

Física
dispersión
integración
teoría cuántica de campos
sección transversal de dispersión

eduardo hughes

Estoy teniendo un día un poco lento y no puedo ver cómo hacer la siguiente integral en Peskin y Schroeder (página 107 para cualquier persona con el libro). Hemos derivado en el marco del centro de masa la integral sobre el espacio de fase de 2 cuerpos

\int d Π_{2} = \int \frac{d {pag}_{1} {pag}_{1}^{2} d Ω}{(2 π)^{3}) 2 {mi}_{1} 2 {mi}_{2}} (2 π) d ({mi}_{C metro} - {mi}_{1} - {mi}_{2})

$\int d\Pi_2 =\int \frac{dp_1p_1^2d\Omega}{(2\pi)^3)2E_12E_2}(2\pi)\delta(E_{cm}-E_1-E_2)$

dónde $E_1^2=p_1^2+m_1^2,\ E_2=p_1^2+m_2^2$ y $E_{cm}$ es la energía inicial total.

Aparentemente, uno puede "integrar sobre la función delta final" para obtener

\int d Π_{2} = \int d Ω \frac{{pag}_{1}^{2}}{dieciséis π^{2} {mi}_{1} {mi}_{2}} (\frac{{pag}_{1}}{{mi}_{1}} + \frac{{pag}_{1}}{{mi}_{2}})^{- 1}

$\int d\Pi_2=\int d\Omega\frac{p_1^2}{16\pi^2E_1E_2}(\frac{p_1}{E_1}+\frac{p_1}{E_2})^{-1}$

¿Cómo se hace esto? Supongo que es algún tipo de cambio inteligente de variables o truco, ¡pero no puedo verlo! ¡Disculpas si me estoy perdiendo algo fácil! Para ser honesto, estoy desconcertado en cuanto a por qué nos quedamos con algún factor de $p_1$ después de hacer la integral, porque es solo una variable de integración, ¿no?

Un argumento claro sería muy apreciado, al igual que alguna intuición de por qué estoy malinterpretando la notación. Muchas gracias de antemano.

Respuestas (1)

Integral en Peskin y Schroeder

Leongz · Answer 1

Es simplemente una cuestión de notación. El $p_1$ (y por lo tanto $E_1$ y $E_2$ ) en

\int d Π_{2} = \int d Ω \frac{{pag}_{1}^{2}}{dieciséis π^{2} {mi}_{1} {mi}_{2}} (\frac{{pag}_{1}}{{mi}_{1}} + \frac{{pag}_{1}}{{mi}_{2}})^{- 1}

$\int d\Pi_2=\int d\Omega\frac{p_1^2}{16\pi^2E_1E_2}(\frac{p_1}{E_1}+\frac{p_1}{E_2})^{-1}$

ya no es una variable de integración; tiene el valor fijo que satisface la función delta $\delta(E_{cm}-E_1-E_2)$ en la integral anterior. El factor $(\frac{p_1}{E_1}+\frac{p_1}{E_2})^{-1}$ proviene de aplicar una identidad de la función delta:

d (gramo (X)) = \frac{d (X - X_{0})}{| {gramo}^{'} (X_{0}) |} .

$\delta(g(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|}.$

Ah, por supuesto, ¡había olvidado esa identidad por completo! ¡Muchas gracias!

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eduardo hughes

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Leongz

eduardo hughes

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