Divergencia de la amplitud de dispersión del nivel del árbol en la teoría cuántica de campos

Estoy estudiando una teoría de juguetes en la teoría cuántica de campos. Hay dos campos libres: un campo escalar masivo real ϕ con masa METRO y un campo escalar masivo complejo Ψ con masa metro .

están acoplados por

L ⊂ gramo Ψ Ψ † ϕ
Soy muy consciente de que este término de interacción da como resultado un Lagrangiano que no tiene límites a continuación, pero es solo un modelo de juguete que estoy usando para tratar de comprender los conceptos básicos de la teoría cuántica de campos.

Ahora, cuando vaya a calcular la amplitud de dispersión a nivel de árbol para Ψ Ψ → Ψ Ψ esparciéndome termino con un T -diagrama de canales y un tu -diagrama de canales. (En ambos diagramas los dos Ψ las partículas entran, intercambian una cáscara ϕ partículas y se dispersan en sus estados finales).

La suma de estos dos diagramas me da el elemento de matriz total, que es como

1 ( t − METRO 2 ) + 1 ( tu − METRO 2 )
ignorando el factor de i y el factor de gramo 2 . Al calcular esta amplitud, trabajé en el marco del centro de masa/momento, siendo los cuatro momentos iniciales de las dos partículas ( mi ( pag ) , 0 , 0 , ± pag ) , siendo los cuatro momentos finales de las dos partículas ( mi ( pag ) , 0 , ± porque ⁡ ( θ ) pag , ± pecado ⁡ ( θ ) pag ) . Esto asegura que se conserve el cuatro impulso.

Con esta parametrización, t se convierte − 4 ( pag pecado ⁡ ( θ / 2 ) ) 2 , y tu se convierte − 4 ( pag porque ⁡ ( θ / 2 ) ) 2 . Las cosas se ponen interesantes en el límite a medida que METRO → 0 , es decir, la masa de la partícula phi se aproxima a cero. En este caso, la amplitud de dispersión se vuelve ilimitada como θ se aproxima a cero o π . Esto es, en mi opinión, un resultado muy poco físico.

¿Es esta divergencia el resultado de un problema fundamental con este modelo de juguete? ¿Cómo podemos dar sentido a este resultado? ¿Cuál es la interpretación física de una amplitud de dispersión divergente? Peor aún es el hecho de que la sección transversal integrada/total también parece divergir en todos estos casos.

no lo hará, por ejemplo ϕ → ϕ ϕ dar un ancho Γ en el propagador de ϕ , eliminando la singularidad? Sin embargo, esa es una descomposición inusual y sin masa, así que no estoy seguro.
también tendrás Γ / metro → ∞ , lo que sugiere que la interpretación de 'resonancia' de la partícula ϕ es un dudoso.
Esto no tiene nada que ver con QFT. Lo mismo sucede cuando estudiamos la dispersión de Coulomb en E&M, o la dispersión clásica en un potencial gravitatorio. La fuerza tiene un rango infinito, por lo que la sección transversal diverge en ángulos pequeños
En respuesta a innisfree, no estoy seguro de si tal decadencia es posible. Solo hay unos pocos vértices de tres puntos en esta teoría, y ninguno de ellos que he encontrado involucra una partícula phi que entra y dos partículas phi que salen. Tenga en cuenta que soy completamente nuevo en QFT, por lo que es posible que esté completamente equivocado.
@chuxley, ¿no sucederá en un ciclo? Por ejemplo, dibuje un círculo con un Ψ y pon 3 ϕ líneas externas en él.
No puedo encontrar una manera de hacer esto en un bucle. El campo psi es un campo escalar complejo, por lo que no creo que puedas dibujar un 'círculo' con una sola partícula Psi, creo que tendrías que dibujarlo usando una partícula Psi y un par de partículas anti-Psi. Sin embargo, creo que encontré una manera de pasar de una partícula Phi a tres partículas, veré si puedo encontrar una manera de cargar el diagrama que dibujé más tarde.

Respuestas (2)

Lo que encontró es un ejemplo muy simple de una divergencia infrarroja , que plaga todas las teorías físicas con partículas sin masa.

Este tipo de divergencias ya están presentes en el caso clásico (ver, por ejemplo, ref. 1), y generalmente indican que estás haciendo una pregunta no física, no que la teoría en sí misma no sea física. Por ejemplo, si tiene partículas sin masa, no tiene sentido preguntar sobre el número total de ellas en una determinada configuración física, mientras que preguntar sobre la energía total es una pregunta bien planteada. Esto se refleja en las matemáticas de la teoría a través de las divergencias: la primera pregunta da como resultado una expresión divergente, mientras que la segunda no.

Estas divergencias son heredadas del caso de la mecánica cuántica. Por ejemplo, las divergencias IR son omnipresentes en QED, pero se puede probar que estas divergencias siempre se anulan para "secciones transversales significativas", es decir, para predicciones que están bien planteadas en el sentido del párrafo anterior. Esto a veces se conoce como la cancelación de Bloch-Nordsieck, o en el caso más general del modelo estándar, como el teorema de Kinoshita-Lee-Nauenberg. Ver por ejemplo refs.2,3,4.

En su caso particular, como se trata de una teoría escalar en lugar de un bosón de calibre, el análisis es un poco más simple (aunque, en general, se deben abandonar los esquemas de renormalización en el caparazón si queremos tener partículas sin masa). Esto se discute en la referencia 5.

Para una discusión más detallada de las divergencias infrarrojas, véanse las refs. 6-8.

Referencias

  1. Itzykson C., Zuber J.-B. Teoría cuántica de campos, apartado 4-1-2.

  2. Peskin, Schroesder. Una introducción a la teoría cuántica de campos, sección 6.5.

  3. Itzykson C., Zuber J.-B. Teoría cuántica de campos, apartado 8-3-1.

  4. Schwartz MD Quantum Field Theory and the Standard Model, capítulo 20.

  5. Srednicki M. Quantum Field Theory, capítulos 26 y 27.

  6. Ticciati R. Teoría cuántica de campos para matemáticos, sección 19.9.

  7. Teorías de campo de Pokorski S. Gauge, secciones 5.5 y 8.7.

  8. Weinberg S. Teoría cuántica de campos, Vol.1. Fundamentos, capítulo 13.

¿No plagan las teorías físicas las divergencias del IR con metro = Γ = 0 , por ejemplo, fotón?
@innisfree hmm No estoy seguro de lo que quieres decir. Sí, cualquier teoría con partículas sin masa tiene posibles divergencias en el IR. QED, que tiene un fotón sin masa, no es una excepción.
Gracias por su respuesta. Voy a recoger una copia antigua de "Una introducción a la teoría cuántica de campos" de Peskin' y Shroesder de un amigo mañana, así que definitivamente lo investigaré. Así que solo para confirmar; este tipo de divergencias (divergencias infrarrojas) son omnipresentes en las teorías cuánticas de campos que involucran partículas sin masa? También; gracias por cambiar el formato de mi pregunta para que las fórmulas matemáticas sean legibles.
@chuxley no hay problema, me alegro de haber podido ayudar. Y sí, las divergencias infrarrojas son aquellas relacionadas con partículas sin masa y, de hecho, son omnipresentes en QFT. Por cierto: tenga en cuenta que el libro de Srednicki está en línea en su página web de forma gratuita, por lo que también puede consultar ese libro si lo desea.
Acabo de buscar ese libro, gracias por avisarme que está en línea. No sé si puedo hacer otra pregunta en el mismo hilo, pero está relacionada con mi pregunta original. En esta teoría del juguete, ¿puedes hacer que una partícula phi se desintegre en dos partículas phi en un ciclo? Estoy tratando de averiguar cómo podría suceder (surgió en un comentario anterior). Gracias :).

Esta es una respuesta muy cruda. Pero esto ayudará en sus consultas. Ves que el problema con el método anterior que implicaste es que a nivel de árbol ψ ψ − > ψ ψ el propagador interno es ϕ partícula. Ahora el propagador de partículas masivas y sin masa es muy diferente. Para partículas sin masa, la ecuación de movimiento en el espacio de cantidad de movimiento no es trivialmente invertible. Esto no se puede establecer M = 0 en la ecuación anterior. para sin masa ϕ primero tendrás que encontrar el propagador.

¿Está seguro de que los propagadores para escalares masivos versus sin masa no son trivialmente diferentes? ¿Puedes escribirlos explícitamente?
Divergencia de la amplitud de dispersión del nivel del árbol en la teoría cuántica de campos
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v